Лекция №14 по ТФКП. Конформные отображения. Теорема Коши. Городецкий С.Е.

• В видео обсуждается конформное отображение степенной функции вида y = x^α.  

• Рассматриваются частные случаи, такие как y = x^2 и y = x^3.  

• При возведении в квадрат, аргумент функции увеличивается вдвое, а параметр пробегает значение от 0 до +∞.  

• При возведении в куб, аргумент функции увеличивается в три раза, а параметр пробегает значение от 0 до +∞.  

• Обсуждаются примеры областей, таких как угол от α до β, и как они преобразуются при возведении в квадрат.  

• При возведении в квадрат, угол между лучами увеличивается в два раза.  

• Обсуждаются особые точки функции, такие как полюса первого и второго порядка, и их влияние на конформность.  

• В каждой точке функция может быть конформной, но не обязательно во всей области.  

• Возведение в квадрат может быть необходимо для преобразования полуплоскости в плоскость с разрезом.  

• Если угол меньше 180 градусов, то для получения всей плоскости с разрезом, нужно возвести в большую степень.  

• Если угол равен 180 градусам, то разрез будет на отрицательной действительной оси.  

• Возведение в куб может быть использовано для преобразования области с аргументом от 0 до 2π на 3π.  

• При выборе регулярной ветви, можно повернуть картинку на угол 2π/3.  

• При возведении в квадрат, образы вертикальных и горизонтальных прямых имеют интересный вид.  

• Образ горизонтальной прямой - парабола, ветви которой направлены вправо.  

• Образ вертикальной прямой - кривая, ветви которой направлены влево.  

• Угол между осями равен 90 градусов.  

• Обсуждение парабол и их пересечения в двух точках, когда прямые пересекаются в одной точке.  

• Объяснение, что при конформном отображении границы области, параболы переходят в горизонтальные прямые.  

• Задача: конформно отобразить область, ограниченную параболой, на верхнюю полуплоскость.  

• Проверка, является ли данная парабола параболой из семейства, и если нет, то требуется дополнительное преобразование.  

• Теорема о непрерывном продолжении конформного отображения на границу области.  

• Ориентация обхода границы сохраняется при конформном отображении.  

• Обсуждается, как конформные отображения работают с разрезами и как они преобразуют аргументы.  

• Показано, как применить отображение экспоненты для преобразования полосы в полуплоскость.  

• Выводится общий вид дробно-линейного отображения единичного круга на себя.  

• Доказывается, что это общий вид любого конформного отображения единичного круга на себя.  

• Используется лемма Шварца для доказательства того, что модуль отображения равен модулю исходного числа.  

• Рассматривается обратная функция и показывается, что она также является регулярной функцией на единичном круге.  

• Доказывается, что если функция регулярна в области и имеет равенство в точке, то она является дробно-линейной.  

• Функция ж от зет, определенная формулой, является непрерывной в д.  

• Доказывается, что интегральная теорема Каши верна не только для выпуклой области, но и для произвольной области.  

• Утверждается, что функция ж от зет является непрерывной и регулярно в области.  

• Доказывается, что функция аш от зет также регулярно в области.  

• Доказывается регулярность функции аш от зет, определенной формулой, в односвязной области д.  

• Для этого рассматривается интеграл по границе треугольника, ограниченного кривой гамма.  

• Интеграл по границе треугольника равен нулю, так как функция аш от зет является полным дифференциалом.  

• Цикл - это совокупность замкнутых кривых с заданными коэффициентами.  

• Индекс точки относительно цикла - это сумма индексов точек относительно кривых, составляющих цикл.  

• Цикл гамма гомологичен нулю относительно области д, если для любой точки вне области д индекс точки относительно цикла равен нулю.  

• Если функция аш от зет регулярно в области д, то цикл гамма гомологичен нулю относительно д.  

• Из этой теоремы следует формула для интеграла по границе треугольника, ограниченного кривой гамма, через функцию аш от зет.  

• Вводится функция ф(z) = аш(z) или аш-ноль(z) в зависимости от области, в которой находится точка z.  

• Функция ф(z) регулярна во всей комплексной плоскости, если аш(z) регулярна в области д.  

• Доказывается, что если функция ф(z) регулярно в области д и цикл гомологичен нулю относительно этой области, то интеграл по этому циклу равен нулю.  

• Это утверждение является теоремой Каши.  

• Если область односвязная, то достаточно убедиться, что граница области гомологична нулю.  

• В этом случае интеграл по границе равен нулю.