ТФКП. Найти особые точки, определить их характер. Вычислить вычеты и в бесконечно удаленной точке.

• Рассматривается задача нахождения особых точек функции и определения их характера.  

• Функция состоит из произведения дробной функции и тригонометрического синуса.  

• Для определения конечных особых точек знаменатели приравниваются к нулю.  

• Точка z = 1 является полюсом первого порядка.  

• Функция в этой точке не равна нулю и бесконечности.  

• Вычет в полюсе первого порядка вычисляется как предел произведения функции на разность z - особая точка.  

• Точка z = 0 является существенно особой точкой.  

• Разложение функции в ряд Лорана в окрестности нуля.  

• Вычет определяется по коэффициенту при слагаемом единица, деленная на z.  

• Разложение функции в окрестности бесконечно удаленной точки.  

• Вынесение минус z за скобку и использование суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.  

• Область сходимости: модуль z больше одного.  

• Разложение функции синус с аргументом единицы можно получить в окрестности бесконечно удаленной точки.  

• Разложение для этой функции будет таким же, как и в нуле, поэтому его можно переписать.  

• Область сходимости разложения: модуль зет больше нуля.  

• Функция ф от зет имеет разложение в виде произведения двух рядов.  

• Перемножение слагаемых приводит к увеличению степеней зет.  

• Разложение в ряд Лорана содержит только отрицательные степени.  

• Точка зет, равная бесконечности, является устранимой особой точкой.  

• Вычет функции в бесконечно удаленной точке определяется как минус коэффициент с индексом минус один.  

• Сумма вычетов во всех особых точках, включая бесконечно удаленную, равна нулю.  

• Вычет в точке зет равная один равен минус синус от одного.  

• Вычет в нуле равен синусу от единицы.  

• Сумма этих вычетов плюс вычет в бесконечности равна нулю, что подтверждает теорему о сумме вычетов.