Лекция 1. Д.С. Агеев. Геометрические методы в квантовой информации

• Дмитрий Агеев представляет курс "Геометрические методы квантовой информации", который будет включать в себя изучение связи геометрии с квантовой сложностью, квантовой зацепленностью и физикой черных дыр.  

• В курсе будут рассмотрены утверждения о том, что геометрия является зацепленностью и что уравнения движения, описывающие зацепленность, удовлетворяют уравнению Эйнштейна.  

• Квантовая сложность определяется теорией Колмогорова и связана с вопросом о том, как определить сложность модельных физических систем.  

• Утверждение о том, что черные дыры являются наиболее быстрыми компьютерами в природе, было сделано недавно и связано с границей Ллойда.  

• Процесс терализации и детерализации может быть рассмотрен с точки зрения геометрического подхода и связан с геометрией реплик.  

• Квантовые хаоса и крамлинг также будут обсуждаться в курсе, так как они связаны с уничтожением информации в черных дырах.  

• Информация может быть полностью размыта в процессе крамлинга, что приводит к режиму квантового хаоса в системе.  

• В видео обсуждается геометрическое описание черных дыр и их связь с квантовыми кодами коррекции.  

• Упоминается, что в трехкубитной системе возникает геометрия черных дыр, даже если она не является экстремальной.  

• Многообразие - это большой гиперповерхность, которая локально ведет себя хорошо.  

• Для описания многообразия необходимо покрыть его множеством локальных чартов, которые взаимно однозначно отображаются на хорошее множество в пространстве.  

• Для многообразия выполняются разумные требования, такие как гладкость, отсутствие ветвлений и пересечений.  

• Касательное пространство - это векторное пространство, которое описывает касательные векторы к многообразию.  

• Вектора на многообразии задаются функциями на многообразии и имеют вид a(x, y, z) или a(x, y, z, t).  

• Касательное пространство определяется как множество всех частных производных функций на многообразии.  

• Это эквивалентно взятию производной от касательных кривых в одной точке многообразия.  

• Теорема цепной функции утверждает, что частные производные функции равны производной от функции по локальному координатному базису.  

• Это позволяет объединить кучу кривых в одной точке и получить касательный вектор.  

• Обсуждение векторов и их представления в виде тензоров.  

• Упоминание о замене переменных и их влиянии на тензоры.  

• Пример метрики и ее характеристики через скалярное произведение.  

• Обсуждение преобразования тензоров и их использования в теории представлений и квантовой теории поля.  

• Пример использования тензоров для преобразования векторов и их производных.  

• Обсуждение важности понимания формального определения тензоров и их применения в алгебре.  

• В видео обсуждается понятие многообразия и его системы координат.  

• Упоминается, что частные производные по координатам являются базисными объектами, которые обеспечивают скалярное произведение.  

• Обсуждается проблема измерения отклонения многообразия от простого объекта и необходимость добавления члена к производной для корректного преобразования.  

• Вводится понятие вектора и его проекции на касательное пространство.  

• Обсуждается, как разбить вектор на касательный и ортогональный компоненты для компенсации плохого закона преобразования.  

• Объясняется, что вариационная производная позволяет брать производную от функции, оставаясь всегда в касательном пространстве.  

• Обсуждается, что касательное пространство отвечает за кривизну, а ортогональное ему пространство - за движение вдоль поверхности.  

• Подчеркивается, что знание о том, как соотносится объемлющее пространство с вложенным многообразием, может быть полезным для понимания его свойств.  

• Обсуждение внешней кривизны и ее связи с метрикой.  

• Определение тензора Римана как объекта, который измеряет, насколько не коммутируют производные по разным направлениям.  

• Тензор Римана описывает, насколько функции, описывающие кривые, подвержены влиянию друг друга.  

• В следующем порядке приближения метрика становится плоской, а в следующем порядке возникает тензор Римана.  

• Упрощение формулы тензора Римана, используя свертку индексов.  

• Обсуждение того, как тензор Римана измеряет, насколько кривые друг от друга отклоняются.  

• В видео объясняется, что тензор Римана измеряет, как кривые отклоняются друг от друга, а тензор Риччи измеряет, насколько пространство деформировано.  

• Скалярная кривизна - это более тонкий объект, который смотрит на кривизну в одной точке.  

• Вопросы о названии книги и авторах.  

• Упоминается книга "Современная геометрия в трех частях" и автор Постников.  

• Обсуждаются результаты, связанные с кривизной и топологией.  

• Упоминается, что обратная процедура для производной не всегда однозначна.  

• Обсуждается связь между производной и гомологией.