Соколов С.В. - Классическая механика. Лекции - 6. Связи. Конфигурационное пространство

• Лекция посвящена связи и конфигурации в гамильтоновых системах.  

• Рассматриваются примеры голономных связей, когда точки принадлежат некоторому дифференцируемому многообразию.  

• Пример голономной связи: движение точки в окрестности плоской кривой, на которую действует сильное силовое поле.  

• Кривая гамма является связью, и точка не может покинуть ее в пределе бесконечно сильного силового поля.  

• Геометрические связи: потенциал, зависящий от параметра, который стремится к бесконечности.  

• В пределе, когда параметр стремится к бесконечности, точка не может покинуть кривую гамма.  

• Теорема: в гамильтоновых системах сохраняется энергия.  

• Начальные условия: координаты точки в конфигурации и их изменение со временем.  

• Интегрирование системы с голономными связями и начальными условиями.  

• В видео обсуждается теорема, которая связывает функции и их производные в механике.  

• При стремлении к бесконечности, функция фиат т, удовлетворяющая уравнению Лагранжа, порождает уравнение Лагранжа для лагранжиана эль со звездочкой.  

• Вводится определение системы со связями: система описывается уравнениями, движение по гамма описывается уравнением механики, и положение точек определяется радиус-векторами.  

• Система стеснена идеальными головономными связями, и поверхность гамма называется конфигурационным пространством системы со связями.  

• В случае, когда гамма задается функционально независимыми уравнениями, система стеснена связями ф1 = 0, фк = 0.  

• Конфигурационное пространство - это дифференцируемое многообразие, на котором задана структура дифференцируемого многообразия.  

• Примеры конфигурационных пространств: сфера, плоский маятник, сферический маятник, двойной маятник, двойной сферический маятник и движущийся отрезок.  

• Размерность конфигурационного пространства называется числом степеней свободы или числом степеней свободы конфигурационного пространства системы.  

• В гамильтоновой механике размерность фазового пространства будет в два раза больше, так как оно состоит из конфигурационной части и пространства импульсов.  

• Вложенное многообразие - это многообразие, которое является подмножеством евклидова пространства.  

• В каждой точке многообразия существует набор функций, которые отображают окрестность этой точки в евклидово пространство.  

• Касательное расслоение - это объединение касательных пространств к многообразию в каждой точке.  

• Отображение между касательными пространствами и многообразием определяет движение в лагранжевой системе.  

• Риманова метрика - это положительно определенная квадратичная форма на касательном пространстве, которая позволяет измерять углы и объемы.  

• Метрика определяет риманово многообразие - дифференцируемое многообразие с фиксированной положительно определенной квадратичной формой.  

• Движение в лагранжевой системе - это экстремаль функционала, который удовлетворяет уравнениям Лагранжа.  

• Изменение локальных координат при движении в лагранжевой системе удовлетворяет уравнениям Лагранжа.  

• Вводится определение лагранжевой системы на римановом многообразии, где кинетическая энергия является квадратичной формой, а потенциальная энергия - дифференцируемой функцией.  

• Обсуждаются натуральные лагранжевы системы, где кинетическая и потенциальная энергии равны.  

• Обсуждается рецепт решения задач со связями, включающий определение конфигурационного многообразия, выражение кинетической энергии, составление функции Лагранжа и решение уравнений в обобщенных координатах.  

• Упоминаются неавтономные системы, где функция Лагранжа зависит от времени.  

• Обсуждаются различные типы связей: головономные, склерономные и реаномные.