Геометрия и алгебра. 1 семестр. Лекция 19.11.2020. Часть 1. Матрицы

• Матрицы в математике - это двумерные массивы.  

• Матрица размера m на n обозначается как m x n.  

• Элементы матрицы обозначаются буквой с индексами, указывающими на номер строки и столбца.  

• Матрицы обычно обозначаются большими буквами.  

• Короткое обозначение: aij, где i и j меняются в определенных пределах.  

• Множество всех матриц размера m на n над кольцом k обозначается как k^mn.  

• Матрица m на 1 - это столбец, обозначается как k^m.  

• Матрица 1 на n - это строка, обозначается как 1x n.  

• Квадратная матрица - это матрица, у которой число строк равно числу столбцов.  

• Операция сложения матриц: a + b = c, где c = a + b.  

• Операция умножения матрицы на число: a * alpha = c, где c = alpha * a.  

• Коммутативность: a + b = b + a.  

• Ассоциативность: a + b + c = a + b + c.  

• Нулевая матрица: a + 0 = 0 + a = a.  

• Противоположная матрица: a + b = 0, где b = -a.  

• Умножение элементов кольца на матрицу и наоборот.  

• Пример: альфа бета умножить на а равно альфа умножить на бета а.  

• Шестой пункт: если кольцо содержит единицу, то один умножить на матрицу а равно а.  

• Альфа плюс бета умножить на матрицу а равно альфа умножить на матрицу а плюс бета умножить на матрицу а.  

• Это свойство называется дистрибутивностью.  

• Восьмой пункт: альфа умножить на сумму матриц а плюс б равно альфа умножить на а плюс альфа умножить на б.  

• Первые четыре свойства касаются операции сложения матриц.  

• Множество матриц размера мн относительно операции сложения является абелевой группой.  

• Операция сложения матриц обозначается знаком плюс и называется сложением.  

• Свойства пять, шесть, семь и восемь касаются умножения матрицы на число.  

• Если единица есть в кольце, то минус единица тоже есть.  

• Умножение минус один на а равно минус а.  

• Матричное умножение вводится по-другому, чем матричное сложение.  

• Матрица а размера м на н умножается на матрицу б размера н на п, чтобы получить матрицу ц размера м на п.  

• Элементы матрицы ц вычисляются по формуле: ц и ката равно сумма а и жидкая на б, ж, кат.  

• Пример: матрица а размера м на н умножается на матрицу б размера н на п.  

• Элемент матрицы ц равен сумме произведений соответствующих элементов строк и столбцов матриц а и б.  

• Умножение строки на столбец аналогично скалярному произведению.  

• Пример: строка умножается на столбец одинаковой длины.  

• Умножение строки на столбец называется внутренним или скалярным произведением.  

• Можно ли умножить столбец на строку?  

• Объяснение умножения матриц, где столбец умножается на строку.  

• Пример умножения матрицы размера m на 1 на матрицу размера 1 на n.  

• Результат умножения: матрица размера m на n.  

• Внешнее произведение матриц: столбец на строку.  

• Пример: матрица размера 2 на 2 умножается на матрицу 2 на 2.  

• Результат: матрица размера 2 на 2.  

• Пример умножения матриц с конкретными числами.  

• Результат: матрица с элементами, соответствующими произведениям элементов строк и столбцов.  

• Умножение матриц запрещено, если количество столбцов первой матрицы не равно количеству строк второй.  

• Введение понятия корнекера произведения матриц.  

• Введение единичной матрицы в кольце с единицей.  

• Единичная матрица имеет диагональные элементы, равные единице.  

• Умножение любой матрицы на единичную матрицу дает исходную матрицу.  

• Ассоциативность матричного умножения: a * b * c = a * b * c.  

• Дистрибутивность матричного умножения: a * b + c = a * b + a * c.  

• Условие: матрицы должны иметь одинаковые размеры для сложения и умножения.  

• Матрицы размера м на н и н на п можно складывать, чтобы получить матрицу размера м на п.  

• Для равенства матриц нужно, чтобы совпадали соответствующие элементы.  

• Матрицы а и б можно складывать, чтобы получить матрицу а + б.  

• Матрица ц должна быть размера н на п.  

• Скаляр можно умножать на любую матрицу, результат будет одинаковым.  

• Это свойство не очевидно, но его нужно доказывать.  

• Единичная матрица порядка н на матрицу а дает в произведении матрицу а.  

• Эти свойства нужно доказывать, но ограничимся доказательством первого пункта.  

• Матрицы а, б и ц можно умножать слева и справа, чтобы получить матрицу одинаковых размеров.  

• Элементы матриц должны совпадать для доказательства равенства.  

• Элементы матриц а на б и б на ц обозначаются через ж и эльты.  

• Цель - проверить, что с и эльты равны т и эльты для всех индексов.  

• Используем дистрибутивность и коммутативность для преобразования выражений.  

• В итоге получаем, что с и эльты равны т и эльты для всех индексов.  

• Все элементы матрицы ст совпадают с соответствующими элементами матрицы ст.  

• Это доказывает равенство матриц.  

• Вопрос о множестве и умножении матриц.  

• Объяснение, что умножаются матрицы, а значения суммируются.  

• Матрица а не имеет отношения к другой матрице.  

• Пример записи элементов матрицы а.  

• Нахождение суммы элементов в каждой строке или столбце.  

• Пример сложения элементов в строке и.  

• Нахождение суммы элементов в каждом столбце.  

• Пример суммирования элементов во втором столбце.  

• Сумма элементов в столбце может быть найдена для каждого столбца.  

• Сложение сумм в каждом столбце дает тот же результат.  

• Изменение порядка суммирования не влияет на результат.  

• Матричное умножение не всегда коммутативно.  

• Для выполнения умножения размеры матриц должны совпадать.  

• Пример: матрицы 1 1 0 0 и 0 0 1 1 не коммутируют.  

• Множество квадратных матриц образует кольцо относительно операций сложения и умножения.  

• Матричное кольцо ассоциативно и содержит единицу.  

• Матрицы могут содержать элементы, такие как многочлены или другие матрицы.  

• Транспонирование меняет роль строк и столбцов матрицы.  

• Пример: транспонирование матрицы 1 1 1 2 1 2 1 3 1 2 3 1 3 2 1 2 2 1 3 2 3 дает матрицу 1 1 1 2 2 2 2 3 2 3.  

• Транспонированная матрица равна исходной, если транспонировать дважды.  

• Транспонирование суммы матриц равно сумме транспонированных матриц.  

• Транспонирование произведения матриц равно произведению транспонированных матриц в обратном порядке.  

• Дважды транспонированная матрица равна исходной.