Лекция №06 "Уровни энергии в молекулах. Колебательные и вращательные уровни энергии"

• В одномерии рассматривается задача о гармоническом осцилляторе, где потенциальная энергия имеет вид икс в квадрате пополам.  

• Уровни энергии осциллятора равны н плюс половина, где н начинается с нуля и далее идет эквидестантно с разницей а шомига.  

• Минимальная энергия равна ашом мега пополам, что соответствует нулевым колебаниям.  

• В качестве примера системы с одномерной зависимостью потенциальной энергии рассматривается двух атомная молекула.  

• Адиабатическое приближение предполагает, что ядра колеблются медленно по отношению к движению электронов, что позволяет считать их положение фиксированным.  

• Потенциальная энергия взаимодействия двух ядер двух атомной молекулы представляется как одномерный осциллятор.  

• В видео обсуждается, что операторы различных компонент не коммутируют друг с другом, но для момента импульса это не так.  

• Если момент импульса равен нулю, то можно одновременно измерить все три компоненты.  

• Если момент импульса не равен нулю, то можно измерить только одну из компонент.  

• В видео рассматривается задача о двух телах, где момент импульса сохраняется, но и его направление также сохраняется.  

• В этом случае важно найти собственные функции и собственные значения операторов эль- квадрат и эль- зет.  

• В видео объясняется, как перейти от декартовых координат к сферическим, используя синус и косинус.  

• В сферических координатах оператор эль- зет имеет простой вид, что связано с выбором зет- компоненты.  

• Оператор эль-зет имеет собственное значение, которое можно найти, используя метод разделения переменных.  

• Собственная функция оператора эль-зет - это функция, которая удовлетворяет требованиям однозначности и имеет ту же самую мнимую часть при изменении фазы на целое число двух пи.  

• Собственное значение оператора эль-зет ограничено и может принимать только целые числа, начиная с нуля.  

• Это ограничение связано с тем, что проекция момента импульса на выделенную ось не может быть безграничной.  

• Оператор квадрата момента количества движения в сферических координатах имеет вид: минус аш квадрат, единица на синус тета, плюс единица на синус квадрат тета д два.  

• Этот оператор можно использовать для нахождения собственных функций и значений оператора эль-зет.  

• В видео обсуждается собственная функция оператора и ее связь с дифференциальным уравнением.  

• Упоминается, что в учебниках по общей физике часто обманывают, утверждая, что физические решения появляются только при определенных значениях оператора.  

• В видео объясняется, что усреднение проводится по всем возможным ориентациям декартовой системы координат в пространстве.  

• Утверждается, что все ориентации равновероятны, и среднее значение получается путем усреднения по всем направлениям.  

• В видео обсуждается вероятность найти любое значение м при усреднении.  

• Утверждается, что если все значения м равновероятны, то вероятность найти любое значение м одинакова.  

• В видео обсуждается значение эль-зет в квадрате для всех возможных значений м, где м пробегает от минус дуэль до плюс дуэль.  

• Суммируя это значение по всем состояниям, получаем среднее арифметическое.  

• Если м равно нулю, то вклад в сумму будет нулевым.  

• Отрицательное и положительное м дают равные вклады.  

• В итоге, получаем собственное значение оператора эль-зет в квадрате.  

• В видео объясняется, что квадрат вектора не равен квадрату проекции на ось зет.  

• Это связано с тем, что проекции на ось зет могут меняться, в то время как длина вектора остается постоянной.  

• В качестве аналогии приводится процессия вектора эль вокруг направления зет.  

• В видео обсуждаются собственные функции и их коэффициенты.  

• Собственная функция зависит от орбитального квантового числа.  

• Для решения уравнения на собственное значение, используется оператор, который действует на неизвестную функцию.  

• В результате получается полином или жанр, зависящий от переменной.  

• В видео объясняется, что волновые функции зависят от углов.  

• Это связано с тем, что электронное облако вокруг атома имеет сферическую симметрию.  

• В результате, волновая функция не зависит от углов и получается сфера.  

• В видео также объясняется, что границы орбитали показывают, где находится электронное облако.  

• В видео обсуждается квантовый ротатор, который представляет собой двухатомную молекулу, где ядра рассматриваются как материальные точки.  

• У молекулы есть шесть степеней свободы: три поступательных, одна колебательная и две вращательных.  

• Вращение происходит относительно фиксированной оси, и энергия вращения квантуется.  

• Энергия квантового ротатора записывается как (h^2/2I) / (2I), где h - постоянная Планка, I - момент инерции относительно оси вращения, а I - расстояние между атомами.  

• Собственное значение энергии квантового ротатора равно (h^2/2I) / (2I) + 1.  

• На основе этих формул можно нарисовать уровни энергии молекулы.  

• Основное состояние молекулы имеет минимальную энергию, а более высокие уровни энергии соответствуют возбужденным состояниям.  

• В видео обсуждается энергия молекулы, которая может быть свободной или связанной.  

• Если молекула свободна, ее энергия может быть любой, начиная с нуля и до бесконечности.  

• Если молекула связана, ее энергия ограничена и может быть только определенной величиной.  

• В видео объясняется, что энергия диссоциации - это минимальная энергия, необходимая для развала молекулы на атомы.  

• Эта энергия равна нулю для не связанных состояний и может быть больше для связанных состояний.  

• В видео обсуждается вращательная энергия молекулы, которая добавляется к колебательной энергии.  

• Вращательные уровни должны быть нарисованы на фоне колебательных уровней, но их масштаб должен быть в сто раз меньше.  

• Автор обсуждает разницу между колебательными уровнями и их эквидистантность.  

• Он объясняет, что разность энергии между соседними уровнями растет линейно с номером уровня.  

• Автор обсуждает, как изменение электронной оболочки влияет на момент инерции и жесткость.  

• Он объясняет, что после возбуждения электронной системы, для новой электронной оболочки будет другой коэффициент к потенциальной энергии.  

• Автор объясняет, как записать гамильтониан в сферических координатах для движения в центральном поле.  

• Он подчеркивает, что потенциальная энергия зависит только от расстояния между телами, но не от их ориентации в пространстве.