Лекция 14. Многочлены от одной переменной

• Обсуждение комплексных чисел и переход к многочленам от одной переменной.  

• Определение многочлена как формального выражения с коэффициентами из поля.  

• Пример записи многочлена и его коэффициентов.  

• Поле может быть рациональными, действительными или комплексными числами.  

• Коэффициенты многочлена могут быть разделены на ненулевые элементы поля.  

• Многочлены с коэффициентами в целых числах также важны, но это другая история.  

• Формальное равенство многочленов: совпадение коэффициентов для всех степеней.  

• Многочлены можно складывать, вычитать и умножать.  

• Ноль и единица в кольце многочленов.  

• Определение степени многочлена как максимального номера ненулевого коэффициента.  

• Степень нулевого многочлена равна минус бесконечности.  

• Свойства степени: сумма степеней при умножении и максимум степеней при сложении.  

• Многочлен обратим, если все его коэффициенты не равны нулю.  

• Обратимые многочлены почти никогда не существуют.  

• Обратимые многочлены - это константы, не равные нулю.  

• Многочлен f от x не является нулевой константой.  

• Обратный многочлен к f от x равен f от x минус первый.  

• В кольце многочленов существует элемент g от x, такой что f от x умножить на g от x равно единице.  

• Обратный многочлен не может быть дробью, так как дробь не является многочленом.  

• Степень многочлена f от x равна сумме степеней f и g.  

• Если степень равна нулю, то старший коэффициент равен нулю, что делает многочлен нулевой константой.  

• Многочлены можно делить только на константы.  

• Функциональное равенство многочленов означает, что они определяют одну и ту же функцию.  

• Для конечных полей функциональное равенство может быть разным.  

• Многочлен x^n - x функционально равен нулю в поле вычетов по модулю p.  

• Малая теорема Ферма утверждает, что вычет a в степени n равен вычету a.  

• Доказательство включает рассмотрение вычетов и их степеней.  

• Формальное равенство влечет функциональное равенство для бесконечных полей.  

• Обратная импликация верна для бесконечных полей.  

• Если два многочлена равны для всех значений, то их коэффициенты равны.  

• Доказательство: разность двух многочленов равна нулю для всех значений.  

• Поле бесконечно, что позволяет использовать попарно разные элементы.  

• Система линейных уравнений с коэффициентами из поля.  

• Определитель матрицы коэффициентов не равен нулю.  

• Система имеет единственное решение, что означает, что все коэффициенты равны нулю.  

• Над конечными полями теорема не верна.  

• Существует многочлен с ненулевыми коэффициентами, который функционально равен нулю.  

• Многочлен, обращающийся в ноль в n+1 попарно разных точках, равен нулю.  

• Все его коэффициенты равны нулю.  

• Найти многочлен, принимающий заданные значения в n+1 точках.  

• Пример: интерполяция графика или физического процесса.  

• При условии, что степень многочлена меньше или равна n, существует и единственный интерполяционный многочлен.  

• Единственность: разность двух интерполяционных многочленов равна нулю в n+1 точках, что делает их тождественно нулевыми.  

• Существование многочлена можно доказать с помощью теоремы Крамера.  

• Интерполяционная формула Лагранжа позволяет явно записать многочлен.  

• Формула Лагранжа является одной из нескольких возможных формул для многочлена.  

• Жозеф Луи Лагранж жил в XVIII-XIX веках.  

• Он был итальянцем, работавшим в Париже.  

• Лагранж считается великим французским математиком.  

• Формула Лагранжа записывается с помощью значка суммы.  

• Формула включает дроби и произведения.  

• В знаменателе всегда есть числа, что делает формулу многочленом.  

• Формула Лагранжа дает интерполяционный многочлен.  

• Одно слагаемое формулы ведет себя как дельта-функция.  

• Умножение на бета и суммирование приводит к нужным значениям в точках.  

• Теорема о делении с остатком для многочленов.  

• Многочлены можно разделить с остатком, если второй многочлен не равен нулю.  

• Существуют единственные неполное частное и остаток.  

• Пример деления многочлена x^2 + 1 на x^3 + 5.  

• Неполное частное равно нулю, остаток равен x^2 + 1.  

• Степень остатка меньше степени делителя.  

• Если степень одного многочлена равна нулю, а другого больше или равна, то в качестве неполного частного берется ноль, а в качестве остатка - первый многочлен.  

• Если степени равны, используется алгоритм деления в столбик.  

• Многочлен делится на другой, умноженный на коэффициент, чтобы старший член сократился.  

• Многочлен ф делится на ж, умноженный на коэффициент, чтобы старший член сократился.  

• Степень нового многочлена ф1 строго меньше степени ф.  

• Процесс продолжается до тех пор, пока степень ф1 не станет меньше степени ж.  

• Если есть два представления ф, одно из которых равно ку1ж+р1, а другое - ку2ж+р2, то степени р2-р1 и ку1-ку2 должны быть равны.  

• Если разность степеней равна минус бесконечности, то ку1=ку2, и р2-р1=0, что приводит к единственности представления.  

• Если разность не равна минус бесконечности, то степень разности больше или равна нулю, что приводит к противоречию.  

• Многочлены можно делить с остатком, как целые числа, что позволяет задавать нетривиальные вопросы.  

• Великая теорема Ферма для многочленов решается методами первого курса.  

• Многочлены имеют производную, что делает их более сложными, чем целые числа.  

• Математические доказательства могут быть очень сложными и длинными, что затрудняет их понимание даже для выдающихся математиков.  

• Чтение и понимание таких текстов может занять много времени и усилий.  

• Лучше доказывать короткие и понятные теоремы, чтобы избежать таких трудностей.  

• Элемент из поля называется корнем многочлена, если многочлен равен нулю.  

• Основная цель алгебры - найти корни многочлена.  

• В классической алгебре задача нахождения корней многочлена была ключевой.  

• В школе учили решать линейные и квадратные уравнения.  

• Для уравнений пятой степени теорема Абеля Руфини доказала отсутствие формулы.  

• Алгебраеры перепрофилировались и занялись другими темами.  

• На английском корень - root, на немецком - Wurzel, на французском - racine.  

• В европейских языках корень обычно женского рода.  

• Для любого элемента альфа и многочлена эф от икс, альфа является корнем тогда и только тогда, когда икс минус альфа делит эф от икс.  

• Доказательство теоремы Безу включает деление с остатком и подстановку икс равно альфа.  

• Остаток равен значению многочлена в точке альфа, что доказывает теорему.