Неравенство треугольника | Задачи 21-29 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии в задачах 7-8

• В треугольнике ABC взяли произвольные точки O и M.  

• Докажите, что сумма расстояний от M до вершин треугольника плюс расстояние между O и M больше суммы расстояний от вершин до O.  

• Точка O делит треугольник на три маленьких треугольника.  

• Точка O попала в треугольник BMC, что используется в доказательстве.  

• Для точки O выполняется неравенство резинки: BM + MC > B + OC.  

• Равенство достигается только при совпадении точек O и M.  

• Добавляем неравенства для AM и OM, используя неравенство треугольника.  

• Складываем все неравенства, получаем строгое неравенство.  

• В выпуклом четырехугольнике ABCD найдите точку O, чтобы сумма расстояний от O до вершин была минимальной.  

• Проводим диагонали и рассматриваем точку O.  

• Минимум достигается, когда AO + OC = AC и BO + OD = BD.  

• Точка O должна принадлежать пересечению диагоналей.  

• Докажите, что для невыпуклого четырехугольника точка с минимальной суммой расстояний совпадает с одной из вершин.  

• Выписываем неравенства для треугольников OAD, OCD и OBD.  

• Складываем неравенства, получаем выражение для суммы расстояний.  

• Точка D удовлетворяет условию, что сумма расстояний минимальна.  

• Докажите, что точка с минимальной суммой расстояний до вершин многоугольника может быть только одна.  

• Допустим, что есть две точки X и Y с минимальной суммой расстояний.  

• Сумма расстояний от X до всех вершин равна сумме расстояний от Y до всех вершин.  

• Доказываем, что сумма расстояний от середины отрезка между X и Y меньше, чем сумма расстояний от X до всех вершин.  

• Рассматривается неравенство для суммы расстояний от точки до вершин многоугольника.  

• Заменяются некоторые значения, чтобы упростить неравенство.  

• Доказывается, что сумма расстояний от точки до вершин многоугольника не может быть минимальной для двух разных точек.  

• Рассуждения верны для невыпуклых многоугольников.  

• Если есть две точки с минимальной суммой расстояний, то точка между ними будет иметь еще меньшую сумму.  

• Это доказано строго, что подтверждает интуитивное понимание.  

• Рассматривается внешний и внутренний треугольники.  

• Доказывается, что периметр внешнего треугольника больше периметра внутреннего.  

• Используются неравенства треугольника и ломаной для доказательства.  

• Рассматривается треугольник и точка внутри него.  

• Доказывается неравенство резинки, используя утверждение из предыдущей задачи.  

• Периметр треугольника с точкой внутри больше периметра треугольника без точки.  

• Рассматривается вырезание четырехугольника с большим периметром из бумажного треугольника.  

• Четырехугольник должен быть не выпуклым.  

• Доказывается, что периметр четырехугольника больше периметра треугольника.  

• Рассматривается четырехугольник с равными сторонами.  

• Доказывается, что четырехугольник не может быть не выпуклым.  

• Сумма расстояний от точки до вершин четырехугольника меньше его периметра.  

• Соединяем точку с вершинами треугольника.  

• Применяем неравенство резинки: сумма расстояний меньше периметра.  

• Сумма расстояний от точки до вершин меньше периметра треугольника.  

• Сумма расстояний от точки до вершин выпуклого четырехугольника может быть больше периметра.  

• Рассматриваем четырехугольник с неравными сторонами.  

• Выбираем точку внутри четырехугольника, чтобы сумма расстояний была больше периметра.  

• Строим четырехугольник с неравными сторонами.  

• Соединяем точки отрезками, чтобы сумма расстояний была больше периметра.  

• Применяем неравенство треугольника для оценки периметра и суммы расстояний.  

• Оцениваем периметр четырехугольника.  

• Применяем неравенство треугольника для оценки суммы расстояний.  

• Сумма расстояний больше периметра, что доказывает существование такого четырехугольника.