Лекция 28. Базисы, размерность. Векторные пространства над простыми полями

• Доказательство теоремы Штейница.  

• В любом векторном пространстве над полем есть базис.  

• Для базисов бесконечной мощности это вытекает из теоретико-множественных соображений.  

• Введение двух характеризаций базиса.  

• Минимальная порождающая система и максимально линейно независимая система.  

• В случае поля эти условия эквивалентны.  

• Примеры, показывающие, что в кольце условия не эквивалентны.  

• Доказательство, что минимальная порождающая система линейно независима.  

• Доказательство, что линейно зависимая минимальная порождающая система не является минимальной.  

• Доказательство существования базиса для конечномерных пространств.  

• Использование индукции и леммы Цорна.  

• Обсуждение минимальных элементов в множестве порождающих подсистем.  

• Обсуждение минимальных элементов и их линейной независимости.  

• Примеры, показывающие, что пересечение убывающей цепи не всегда порождает.  

• Применение трансфинитной индукции для доказательства существования базиса.  

• Доказательство для конечномерных пространств.  

• Обсуждение выбора базиса в бесконечномерных пространствах.  

• Заключение о невозможности выбора базиса в бесконечномерном пространстве.  

• Рассматривается понятие максимально линейно независимой системы.  

• Доказывается, что базис и максимально линейно независимая система эквивалентны.  

• Доказательство включает в себя линейную зависимость и порождающую систему.  

• Каждая линейно независимая система может быть дополнена до базиса.  

• Для конечномерных пространств процесс дополнения обрывается на конечном шаге.  

• Для бесконечномерных пространств объединение линейно независимых систем также линейно независимо.  

• Доказано существование базисов в бесконечномерных пространствах.  

• Базисы существуют и имеют одинаковую мощность.  

• Теорема Штейница утверждает, что любые два базиса имеют одинаковую мощность.  

• Размерность векторного пространства определяется как мощность любого базиса.  

• Примеры размерностей для различных пространств: нулевое пространство, прямая, плоскость, комплексные числа, кватернионы, многочлены.  

• Размерность континуум-пространства равна континууму.  

• Доказано, что у каждого пространства есть единственная размерность.  

• Векторные пространства классифицируются с точностью до изоморфизма.  

• Два пространства изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности совпадают.  

• В конечномерных пространствах подпространство совпадает с пространством, если их размерности равны.  

• В бесконечномерных пространствах это не всегда верно, и нужно строить изоморфизмы.  

• Принцип размерности упрощает доказательства в конечномерных пространствах.  

• Для конечных множеств инъективность, селективность и объективность эквивалентны.  

• В конечномерном пространстве любая линейно независимая система является базисом.  

• Это упрощает доказательства в конечномерном случае.  

• В векторном пространстве над полем существуют относительные базисы для подпространств.  

• Относительная линейная независимость и порождаемость определяются относительно подпространства.  

• Относительные базисы соответствуют базисам фактор-пространства.  

• Относительные базисы существуют и образуют базис фактор-пространства.  

• Условия эквивалентности: относительный базис, классы элементов образуют базис фактор-пространства, дополнение базиса подпространства до базиса всего пространства, прямая сумма подпространств.  

• Доказательство эквивалентности условий.  

• Доказательство, что относительный базис эквивалентен классам элементов, образующим базис фактор-пространства.  

• Объяснение, почему классы элементов линейно независимы и порождают пространство.  

• Доказательство, что относительный базис порождает пространство относительно подпространства.  

• Любой вектор из прямой суммы является суммой векторов из слагаемых.  

• Если векторы линейно зависимы, то их сумма равна нулю.  

• Прямая сумма эквивалентна базису слагаемых.  

• Сумма размерностей фактор-пространства и исходного пространства равна размерности исходного пространства.  

• Размерность фактор-пространства называется коразмерностью.  

• Для конечного пространства размерность равна разности размерностей исходного и фактор-пространства.  

• Размерность ядра и образа равна разности размерностей исходного и фактор-пространства.  

• Сумма размерностей ядра и образа равна размерности исходного пространства.  

• Доказательство через базисы ядра и относительного базиса.  

• Сумма размерностей суммы подпространств и размерности пересечения равна размерности исходного пространства.  

• Сумма подпространств является фактором по их прямой сумме.  

• Фактор по диагонально вложенному пересечению.  

• Отображение фи: пересечение в дубль в отображается в прямую сумму.  

• Прямая сумма отображается в сумму, сумма отображается в ноль.  

• Теорема о размерности: сумма размерности ядра и образа равна размерности отображаемого пространства.  

• Лемма: размерность объединения базисов слагаемых равна размерности прямой суммы.  

• Следствие: если размерность в меньше бесконечности, то размерность пересечения больше суммы размерностей минус размерность.  

• Пример: две плоскости в трехмерном пространстве пересекаются не по нулю.  

• Определение элементарной абелевой группы: все элементы, кроме нуля, имеют порядок.  

• Теорема: векторное пространство над конечным полем равно элементарной абелевой группе.  

• Важность теоремы: любая группа с более чем двумя элементами имеет нетривиальный автоморфизм.  

• Определение делимой группы: для любого элемента и натурального числа существует элемент, делящий его.  

• Определение однозначно делимой группы: для любого элемента и натурального числа существует единственное делящее число.  

• Теорема: векторное пространство на натуральном кольце равно однозначно делимой абелевой группе.  

• Следствие: однозначно делимая абелева группа имеет единственный вариант размерности.  

• Задача для первокурсников: доказать, что группа по сложению изоморфна группе по умножению.  

• Завершение лекции и анонс следующей встречи.