Лекция 24. Евклидовы и унитарные пространства

• Лекция посвящена последним темам семестра.  

• Рассматриваются евклидовы и унитарные пространства.  

• Переход от общих теорем к конкретным примерам.  

• Скалярное произведение на векторном пространстве.  

• Симметрическая положительно определенная билинейная форма.  

• Положительная определенность формы: икс на икс - число неотрицательное.  

• Пространство вместе со скалярным произведением называется евклидовым пространством.  

• Пример: пространство вещественных чисел с обычным скалярным произведением.  

• Пример: координатное пространство с суммой попарных произведений координат.  

• Разные скалярные произведения на одном пространстве.  

• Пример с матрицами: скалярное произведение как след транспонированной матрицы.  

• Пример с многочленами: интеграл от функции на отрезке.  

• Определение эрмитова произведения в комплексном пространстве.  

• Эрмитово произведение как полуторалинейная форма.  

• Линейность по первому аргументу и сопряжение комплексных чисел.  

• Все остальные свойства являются следствиями этих.  

• Четвертое свойство: аддитивность по второму аргументу.  

• Пятое свойство: произведение сопряженных чисел равно сопряжению от произведения.  

• Шестое свойство: одинаковые векторы не меняются при комплексном сопряжении.  

• Вещественные числа не меняются при комплексном сопряжении.  

• Пространство с эрмитовым произведением называется унитарным пространством.  

• Пример: пространство с эрмитовым произведением, где эрмитово произведение определяется как сумма произведений сопряженных элементов.  

• Пример: пространство непрерывных функций с эрмитовым произведением, где эрмитово произведение определяется как сумма квадратов модулей элементов.  

• Рассматривается пространство непрерывных комплекснозначных функций на отрезке.  

• Функции вида f от x + i на g от x, где f и g - вещественнозначные функции.  

• Интеграл от комплекснозначной функции определяется как сумма вещественной и мнимой частей.  

• Эрмитово произведение f на g определяется как интеграл от a до b от f от x, g от x-сопряженное d-x.  

• Сопряженное значение g от x - это g от x один минус i на g от x два.  

• В евклидовом или унитарном пространстве модуль скалярного произведения векторов не превосходит произведение их длин.  

• Длина вектора определяется как корень квадратный из произведения его координат.  

• Рассматривается произведение векторов x + t y на x + t y.  

• Раскрываются скобки и вычисляется произведение длин векторов.  

• Доказывается, что модуль скалярного произведения не превосходит произведение длин векторов.  

• Неравенство позволяет определить угол между векторами.  

• Скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.  

• Скалярное произведение определяет геометрию пространства через длины и углы векторов.  

• Рассматривается квадрат длины вектора x + y.  

• Вычисляется скалярное произведение x + y на x + y.  

• Доказывается, что квадрат длины вектора равен сумме квадратов координат.  

• В унитарном пространстве квадрат длины вектора равен удвоенной вещественной части скалярного произведения.  

• В евклидовом пространстве это просто удвоенное число.  

• Вещественная часть числа не превосходит его модуля.  

• Вещественная часть числа не превосходит его модуля.  

• Длина вектора икс плюс игрек не превосходит суммы длин векторов икс и игрек.  

• Это неравенство называется неравенством треугольника.  

• Неравенство Каши-Буковского для стандартного скалярного произведения.  

• Неравенство Гельдера или Минковского.  

• Пример с векторами икс и игрек, где а и б положительные числа.  

• Если векторы икс и игрек перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.  

• Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.  

• Это утверждение называется теоремой Пифагора.  

• Ортогональное дополнение подпространства в евклидовом или унитарном пространстве.  

• Векторы ортогонального дополнения перпендикулярны всему пространству.  

• Теорема о размерности подпространства и его ортогонального дополнения.  

• Проверка невырожденности скалярного произведения и его ограничения на подпространство.  

• Положительная определенность гарантирует, что нулевой вектор перпендикулярен сам себе.  

• Для унитарных пространств доказательство аналогично.  

• Включение очевидно.  

• Доказательство аналогично теореме о базисе и системе уравнений.  

• Унитарное пространство содержит ортогональное дополнение с той же размерностью.  

• Пример с евклидовым пространством R4 и подпространством Y.  

• Нахождение базиса ортогонального дополнения.  

• Решение системы линейных однородных уравнений для нахождения общего решения.  

• Пример с системой уравнений для задания ортогонального дополнения.  

• Задание системы уравнений для определения ортогонального дополнения.  

• Находим базис в пространстве У.  

• Решаем систему уравнений: один минус три, один минус два, два, минус один, три, минус один.  

• Определяем ранг системы: два.  

• Выбираем зависимые переменные: икс-один, икс-три.  

• Получаем общее решение: выражение зависимых переменных через свободные.  

• Находим базис: ф-один и ф-два.  

• Вектор икс лежит в У ортогональном, если перпендикулярен любому вектору из У.  

• Скалярное произведение икс с ф-один и ф-два равно нулю.  

• Система уравнений задает У ортогональное пространство.  

• В любом векторном пространстве есть базис.  

• Ортонормированные базисы очень хороши.  

• Ортогональный базис можно нормировать для получения ортонормированного базиса.  

• Ортогонализация базиса по Грамму-Шмидту позволяет сделать базис ортогональным.  

• Процедура включает постепенное выпрямление векторов.  

• Это позволяет получить ортонормированный базис из любого базиса.  

• В следующем семестре будут рассмотрены линейные операторы в унитарных пространствах.  

• Планируется изучение внутренней геометрии и поведения операторов.  

• Будут рассмотрены приложения, такие как классификация кривых поверхностей второго порядка и движения плоскости и пространства.  

• В конце семестра будет блок по аффинной геометрии и тензорной алгебре.