Выпуклость графика функции Точки перегиба.

• Рассматриваются графики функций, выпуклые вверх и вниз.  

• Определения: график выпуклый вверх, если он лежит ниже касательной в любой точке интервала; график выпуклый вниз, если он лежит выше касательной.  

• Для определения выпуклости используется вторая производная.  

• Если вторая производная больше нуля, функция выпукла вниз; если меньше нуля, функция выпукла вверх.  

• Мнемоническое правило: функция выпукла вниз - полная чашечка, функция выпукла вверх - перевернутая чашечка.  

• График функции y = x^3 имеет точку перегиба в начале координат.  

• Слева от точки x0 функция выпукла вверх, справа - выпукла вниз.  

• Точка перегиба - это точка, где функция меняет направление выпуклости.  

• Критические точки - это точки, где вторая производная равна нулю или не существует.  

• Достаточное условие: если вторая производная меняет знак при переходе через критическую точку, это точка перегиба.  

• Находим область определения, вторую производную, приравниваем её к нулю, отмечаем критические точки.  

• Определяем знак второй производной и делаем вывод о выпуклости и точках перегиба.  

• Находим область определения и первую производную.  

• Находим вторую производную и приравниваем её к нулю.  

• Определяем критические точки и отмечаем их на числовой прямой.  

• Определяем знак второй производной на интервалах.  

• Находим интервалы, где функция выпукла вверх, вниз или имеет точки перегиба.  

• Проверяем достаточные условия для определения точек перегиба.  

• Находим вторую координату точек перегиба.  

• Строим график функции и отмечаем точки перегиба.  

• Проверяем соответствие графика с результатами исследования.