Лекция 1: Погрешности вычислений

• Лекция посвящена погрешностям в вычислениях.  

• Численные методы существуют из-за наличия погрешностей в вычислениях.  

• Приближенные вычисления являются обычной практикой.  

• Физики рассматривают погрешности через призму статистики и теории вероятностей.  

• Измеренные величины оцениваются с погрешностью, связанной с методом измерения.  

• Погрешность воспринимается как случайная величина с определенным средним квадратичным отклонением.  

• При сложении случайных величин их среднее значение совпадает, но дисперсии складываются.  

• Для сложных функций погрешность определяется как корень квадратный из суммы квадратов погрешностей.  

• Дисперсия величины обозначается как сигма ф.  

• Погрешность вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов отклонений.  

• Пример: если эф от икс игрек равно икс игрек, погрешность будет равна корню квадратному из суммы квадратов отклонений икс и игрек.  

• Относительная погрешность обозначается как сигма икс делить на икс и сигма игрек делить на игрек.  

• В статистике это называется вариацией случайной величины.  

• Пример: вариация ф от икс игрек равна корню квадратному из суммы квадратов вариаций икс и игрек.  

• Гауссово распределение используется для описания случайных величин.  

• Пример: при делении на калькуляторе результат может быть округлен до определенного знака.  

• Ошибка последнего знака может быть значительной.  

• Округление может привести к потере точности.  

• Пример: корень квадратный из двух может быть округлен до 1.41421356237.  

• Точность округления зависит от правил округления и системы счисления.  

• Распределение погрешности может быть неравномерным.  

• Пример: погрешность может быть в диапазоне от плюс-минус 5 на десять минус девятый.  

• Точность может быть улучшена путем вычитания и умножения на большие числа.  

• У распределения есть среднее квадратическое отклонение и дисперсия.  

• Эти параметры можно использовать для оценки точности.  

• Ошибки округления имеют сталообразное распределение.  

• Величина ошибки зависит от метода округления и системы счисления.  

• В двоичной системе ошибка может быть от 0 до 1/256.  

• Относительная ошибка играет роль вариации.  

• Не путайте сигму и дельта.  

• Величины будут складываться, и их погрешности будут складываться.  

• Пример сложения двух величин: 0.33 и 0.66.  

• Погрешность суммы: 0.005.  

• Сложение сигм дало бы результат 0.007, что не соответствует истине.  

• Методы статистики не работают для ошибок округления.  

• Можно попытаться посчитать дисперсию и среднеквадратическое отклонение.  

• Однако это сложно и не всегда целесообразно для практических расчетов.  

• Вычислительные погрешности распределены иначе, чем реальные разбросы.  

• Ошибки связаны с округлением и использованием позиционных систем счисления.  

• Иррациональные числа и трансцендентные числа не могут быть представлены до последнего знака.  

• Теория чисел считается одной из самых бесполезных разделов математики.  

• Несмотря на это, некоторые сведения из теории чисел полезны.  

• Погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей.  

• Погрешность произведения чисел равна произведению относительных погрешностей.  

• Пример: 1/3 умножить на 3.  

• Погрешности складываются: 0.05/0.3 и 0.05/0.8.  

• Относительная погрешность произведения равна 11/48.  

• Абсолютная погрешность произведения равна произведению относительной погрешности на значение произведения.  

• Пример: 0.24 умножить на 11/48, что дает 0.0055.  

• Пример: 1/3 умножить на 3/7.  

• Погрешности складываются: 0.05/0.3 и 0.05/0.4.  

• Относительная погрешность произведения равна 7/24.  

• Абсолютная погрешность произведения равна произведению относительной погрешности на значение произведения.  

• Пример: 0.12 умножить на 7/24, что дает 0.0035.  

• При сложении величин абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей.  

• При произведении величин складываются относительные погрешности.  

• Абсолютная погрешность произведения вторична и равна произведению относительной погрешности на значение произведения.  

• Возведение числа в степень требует многократного умножения.  

• Относительная погрешность равна произведению дельта икс на икс в степени н.  

• Пример: 1/3 в четвертой степени равно 0.382716, округляем до 0.3.  

• Ошибки в вычислениях могут быть значительными.  

• Пример: ошибка в делении на калькуляторе привела к неверному результату.  

• Важно проверять и исправлять ошибки для точности.  

• Калькуляторы прошли долгий путь развития.  

• Первые калькуляторы были громоздкими и неудобными.  

• Современные калькуляторы позволяют вычислять с высокой точностью.  

• Логарифмические линейки использовались для вычислений.  

• Они позволяли вычислять с точностью до сотых и тысячных долей.  

• Эти линейки были популярны среди инженеров и ученых.  

• Возведение в степень включает дробные степени, такие как корень.  

• Пример: корень из числа в степени н равен дельта икс делить на н на корень из икс в степени н.  

• Демонстрация извлечения корня из числа.  

• Корень квадратный из одной шестнадцатой равен 0.25.  

• Округляем до десятых: 0.1.  

• Погрешность: 0.05.  

• Погрешность корня квадратного из 0.1: 0.03.  

• Истинная погрешность: 0.075.  

• Верхняя граница погрешности: 0.075.  

• Погрешности складываются.  

• Пример: 2/3 и 1/3.  

• Результат: 2.03.  

• Пример: 0.7 и 0.3.  

• Результат: 2.03.  

• Погрешность: 0.002.  

• Пример: корень кубический из суммы.  

• Погрешности: а, б, икс.  

• Относительная погрешность: 1/3 от относительной погрешности подкоренного выражения.  

• Погрешность суммы: сумма абсолютных погрешностей, деленная на сумму.  

• Пример: 2 минус икс.  

• Погрешность: дельта икс, деленная на 2 минус икс.  

• Важность точности в расчетах.  

• Пример: 200 минус икс.  

• Погрешность: единица, деленная на единицу.  

• Погрешность суммы: дельта а плюс дельта б, деленная на а плюс б плюс четыре дельта икс плюс дельта икс, деленная на два минус икс.  

• Подставляем числа для расчета.  

• Пример: a = 2.2, delta a = 0.05.  

• Пример: b = 3.5, delta b = 0.05.  

• Пример: x = 0.8, delta x = 0.05/8 = 0.00625.  

• Считаем корень кубический из a + b.  

• Пример: 5.7 / 0.8^4 = 1.9^4 * 0.1 = 0.01.  

• Проверяем результат: 5.7 * 1.9^2 / 10 = 1.635.  

• Считаем погрешность дельта-y.  

• Пример: delta a + delta b / 5.7 + 4 * delta x / 0.1.  

• Пример: 0.05 + 0.25 / 5.7 + 0.05 / 0.1 = 0.7675.  

• Итоговая погрешность: 0.26.  

• Абсолютная погрешность: 1.635 * 0.26 = 0.425.  

• Результат: 1.6 ± 0.4, 25% погрешность.  

• Обсуждение более сложных функций и производных.  

• Вопрос о том, как справиться с более сложными задачами.  

• Рассматриваются функции от нескольких переменных и от одной переменной.  

• Обсуждается, как вычислять погрешности для функций.  

• Пример с функцией e^x и её погрешностью.  

• Дельта z равна e^x умножить на погрешность x.  

• Относительная погрешность z равна дельта z деленное на z.  

• Пример расчета погрешности для e^2.  

• Пример неправильного расчета погрешности.  

• Показано, как не нужно делать расчеты.  

• Правильный метод расчета погрешности.  

• Дельта z для логарифма равна производной от логарифма умножить на погрешность x.  

• Пример расчета погрешности для логарифма 2.  

• Правильный метод расчета погрешности для логарифма.  

• Рассматриваются функции многих переменных.  

• Дельта z для функции двух переменных.  

• Пример функции x*y и её погрешности.  

• Подведение итогов.  

• Обещание продолжить обсуждение погрешностей в следующий раз.