Дьяченко М. И. - Действительный анализ - Прямые произведения мер

• В лекции обсуждается конструкция прямого произведения мер, которая будет использоваться в дальнейшем курсе.  

• Рассматриваются полукольца и их прямое произведение.  

• Доказывается теорема Фубини, которая утверждает, что если меры на полукольцах удовлетворяют определенным условиям, то их прямое произведение также является мерой.  

• Доказательство основано на лемме из теории меры и использовании конечных наборов множеств.  

• В видео обсуждается понятие меры и ее свойства, а также связь между мерами и интегралами.  

• Рассматривается сумма мер и ее связь с мерой множества.  

• Определяется прямое произведение мер на измеримых пространствах.  

• Обсуждается, что прямое произведение мер не всегда определяется только на множестве.  

• Определяется двойное и повторное интегрирование.  

• Обсуждается теорема Фубине, которая связывает двойное и повторное интегрирование.  

• В видео обсуждается понятие сигма-конечных измеримых пространств и их свойства.  

• Упоминается, что произведение двух сигма-конечных измеримых пространств также является сигма-конечным измеримым пространством.  

• Обсуждается понятие полной меры, которая является мерой, которая покрывает все подмножества меры ноль.  

• Упоминается, что мера множества равна интегралу от функции меры по этому множеству.  

• Доказывается теорема о том, что если мера множества конечна, то его сечение также является конечным дизъюнктным объединением множеств.  

• Утверждение очевидно, так как сечение множества может быть либо пустым, либо конечным дизъюнктным объединением.  

• Утверждение теоремы справедливо для множеств, вложенных друг в друга.  

• Доказывается, что утверждение теоремы справедливо для множества, состоящего из объединения множеств, вложенных друг в друга.  

• Множество е принадлежит им, и его мера конечна.  

• Множество е представляется в виде пересечения по и от единицы до бесконечности объединений пожи от единицы до бесконечности множеств а и жых минус е-нулевое.  

• Принцип Кавальери - это теорема, которая утверждает, что если функция мю два от е от икс-один равна нулю для почти всех икс-один, принадлежащих икс-один большому, то она интегрируема относительно меры мю-один на икс-один.  

• Теорема Убине - это обобщение принципа Кавальери для случая, когда функция двух переменных эф от икс-один, икс-два измерима на икс-один на икс-два, м-мю-один умножить на мед-два.  

• Рассматривается интеграл от функции, которая является произведением двух функций, одна из которых является измеримой, а другая - нет.  

• Утверждается, что если функция измерима, то интеграл от нее будет равен повторному интегралу от функции, которая является интегралом от первой функции.  

• Утверждается, что если функция измерима и не отрицательна, то интеграл от нее можно брать как сразу по мере, так и последовательно, и в обоих случаях результат будет одинаковым.  

• Если функция не отрицательна, то это утверждение неверно.  

• Рассматривается случай, когда функция не отрицательна и измерима, и утверждается, что интеграл от нее равен повторному интегралу от функции, которая является интегралом от первой функции.