Valery Volkov | Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взята точка M так, что угол MBC=20°, угол MBA=30° и угол MAB=40°. Найдите угол BMC

Решение задачи

В равнобедренном треугольнике с основанием АП, точка М выбрана так, что угол МБЦ равен 20°, угол МБА равен 30°, а угол М АБ равен 40°.

Задача состоит в нахождении угла БМЦ.

Треугольник равнобедренный, поэтому углы при основании равны.

Угол БЦ равен углу АБЦ, который равен 30°+20°=50°.

Угол при вершине Ц равен 180°-2*50°=80°.

Угол М АЦ равен разности углов Б АЦ и М АБ, то есть 50°-40°=10°.

Опустим высоту ЦД на основание АБ.

Высота ЦД является медианой и биссектрисой угла при вершине Ц, поэтому угол АЦД равен углу БЦД и равен углу АЦБ, деленному на 2.

Угол АЦД равен 80°/2=40°.

Точка О - точка пересечения высоты ЦД с отрезком МБ.

Точка О лежит на серединном перпендикуляре ЦД отрезка АБ, поэтому треугольник АОБ является равнобедренным.

Угол АОД равен углу БОД, который можно найти из прямоугольного треугольника БОД.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому угол БОД равен 60°.

Угол МОЦ равен углу БОД, так как они являются вертикальными углами.

Угол МОЦ равен 60°.

Угол АОМ является смежным с углом АОБ, поэтому он равен 180°-120°=60°.

Угол МАО равен разности углов М АБ и О АБ, то есть 40°-30°=10°.

Точка М является точкой пересечения биссектрис треугольника АОЦ.

ЦМ является биссектрисой угла АЦД, поэтому угол МСО равен половине угла АЦД, то есть 40°/2=20°.

Из треугольника МЦ угол БМЦ равен 180°-60°-20°=100°.