Тимашев Д. А. - Алгебра, Часть 1. Лекции - 23. Симметрические многочлены

• Рассматриваются многочлены от нескольких переменных.  

• Определяются симметрические многочлены, которые не меняются при перестановке переменных.  

• Пример: многочлен от четырех переменных не является симметрическим.  

• Константы являются симметрическими многочленами.  

• Степенные суммы также являются симметрическими многочленами.  

• Элементарные симметрические многочлены: сумма произведений выбранных переменных.  

• k-й элементарный симметрический многочлен: сумма произведений k переменных.  

• Примеры: первый элементарный симметрический многочлен равен сумме всех переменных, второй элементарный симметрический многочлен равен сумме попарных произведений переменных.  

• k-й элементарный симметрический многочлен при k > n равен нулю.  

• Сумма, разность и произведение симметрических многочленов также являются симметрическими.  

• Множество симметрических многочленов замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.  

• Это подкольцо в кольце всех многочленов от n переменных.  

• Можно строить новые примеры симметрических многочленов, складывая, вычитая и перемножая уже имеющиеся.  

• Теорема Виета утверждает, что для многочлена от одной переменной с n корнями, значения элементарных симметрических многочленов от корней выражаются через коэффициенты многочлена.  

• Формулы Виета обобщают формулу Виета для корней квадратного трехчлена на многочлены любой степени.  

• Доказательство теоремы Виета заключается в раскрытии скобок и приведении подобных членов.  

• Теорема Виета применима к многочленам, которые имеют столько корней, какова их степень.  

• Поле комплексных чисел и алгебраически замкнутые поля обладают этим свойством.  

• Даже если поле не алгебраически замкнуто, его можно расширить до алгебраически замкнутого поля для применения теоремы Виета.  

• Любой симметрический многочлен можно выразить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов единственным способом.  

• Степень многочлена, выражающего симметрический многочлен, равна степени многочлена по любой переменной.  

• Кольцо симметрических многочленов является подкольцом в кольце всех многочленов от n переменных.  

• Кольцо симметрических многочленов состоит из многочленов от сигма один и так далее сигма н.  

• Любой элемент этого кольца выражается единственным способом через многочлены от этих переменных.  

• Основная теорема о симметрических многочленах утверждает, что любой симметрический многочлен можно выразить через элементарные симметрические многочлены.  

• Первая степенная сумма: икс один плюс икс два плюс икс н.  

• Вторая степенная сумма: икс один в квадрате плюс икс два в квадрате плюс икс н в квадрате.  

• Выражение второй степенной суммы через элементарные симметрические многочлены: сигма один в квадрате минус два сигма два.  

• Доказательство состоит из трех частей: существование выражения, его единственность и доказательство степени.  

• Разложение многочлена на однородные компоненты: ф ноль, ф один и так далее.  

• Все однородные компоненты симметрического многочлена также являются симметрическими многочленами.  

• Старший член симметрического многочлена обладает свойством нестрогого убывания степеней по переменным.  

• Доказательство от противного: если убывание нарушается, перестановка переменных приводит к новому одночлену, который старше исходного.  

• Это противоречит предположению о старшем члене, что доказывает лемму.  

• Для любого одночлена с нестрого убывающими степенями существует симметрический многочлен, для которого этот одночлен является старшим членом.  

• Доказательство: старший член произведения элементарных симметрических многочленов равен произведению старших членов множителей.  

• Нахождение старших членов элементарных симметрических многочленов завершает доказательство леммы.  

• Сигма жтая - это сумма произведений переменных.  

• Рассматривается старший член многочлена.  

• Сравниваются одночлены по степени переменных.  

• Старший член определяется по степени переменных.  

• Степень по переменной икс один должна быть равна единице.  

• Степень по икс два должна быть равна двойке и так далее.  

• Старший член сигма один равен икс один в степени эль один.  

• Старший член сигма два равен икс один икс два в степени эль два.  

• Старший член сигма жтая равен произведению всех переменных в степени эль жтая.  

• Степень по икс один должна быть равна к один.  

• Степень по икс два должна быть равна к два и так далее.  

• Степень по икс жтая должна быть равна к жтая.  

• Для выполнения условий необходимо и достаточно выполнение цепочки равенств.  

• Эти равенства можно переписать в равносильном виде.  

• Все разности соседних степеней не отрицательные.  

• Существует ровно один набор степеней, удовлетворяющий условиям.  

• Старший член произведения будет равен исходному одночлену.  

• Доказана лемма два.  

• Рассматривается многочлен ф и выделяется его старший член.  

• Старший член ф может быть представлен как произведение элементарных симметрических многочленов.  

• Новый многочлен ф один получается вычитанием этого произведения.  

• Многочлен ф один также может быть представлен как сумма старшего члена и младших членов.  

• Последовательность многочленов ф, ф один, ф два и так далее.  

• Все многочлены однородны и симметричны.  

• Последовательность однородных симметрических многочленов убывает в лексикографическом порядке.  

• Последовательность не может продолжаться бесконечно из-за конечного числа одночленов в данной степени.  

• Существует конечное число одночленов данной степени.  

• Бесконечно убывающая цепочка одночленов не может существовать.  

• Процесс рано или поздно закончится, и на некотором шаге фст не будет равен нулю.  

• Вычитание произведения элементарных симметрических многочленов приводит к нулю.  

• Многочлен ф можно представить как сумму произведений с коэффициентами.  

• После многих шагов останется только произведение элементарных симметрических многочленов.  

• Важно, чтобы оставшийся многочлен ф один был симметрическим.  

• Вычитание произведения симметрических многочленов уменьшает старшие члены.  

• В итоге все члены будут равны нулю, так как бесконечно уменьшать нельзя.  

• Степень многочлена ф по переменной икс один равна степени старшего члена.  

• Степень всего многочлена равна степени старшего члена.  

• Степень всего многочлена равна степени старшего члена по переменной x1.  

• В цепочке старших членов многочленов степени по x1 убывают.  

• Сравнение степеней проводится не только по x1, но и по другим переменным.  

• Степень старшего члена ф по x1 больше или равна степени старшего члена ф1 по x1.  

• Степени старших членов произведений сигм равны сумме показателей степеней.  

• Самая большая степень равна степени многочлена ф большое по переменным сигма1, сигма2, ..., сигмаn.  

• Предположим, что есть два выражения многочлена ф маленькое через элементарные симметрические многочлены.  

• Рассмотрим разность многочленов ф большое и ж большое.  

• Доказываем, что разность равна нулю, что доказывает единственность выражения.  

• Предположим, что разность не равна нулю.  

• Подставляем элементарные симметрические многочлены вместо переменных x1, x2, ..., xn.  

• Старшие члены произведений сигм различны, что приводит к противоречию.  

• Противоречие доказывает, что разность равна нулю.  

• Теорема полностью доказана.  

• Теоремы Виета и основная теорема асимметрических многочленах являются основой для применения симметрических многочленов.  

• Основная теорема о симметрических многочленах переносится без изменений на случай, когда ка не обязательно поле, а произвольное коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.  

• Пример: кольцо целых чисел.  

• Теорема утверждает, что всякий симметрический многочлен с целыми коэффициентами представляется в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов с целыми коэффициентами.  

• Теория симметрических многочленов применима к изучению корней многочленов от одной переменной.  

• Принцип: значение симметрического многочлена от корней многочлена представляется в виде многочлена от отношений коэффициентов многочлена к старшему коэффициенту.  

• Это следует из основной теоремы о симметрических многочленах и теоремы Виета.  

• Симметрический многочлен выражается через элементарные симметрические многочлены, которые можно найти через коэффициенты многочлена.  

• Это позволяет вычислять симметрические многочлены без знания корней многочлена.  

• Пример: понятие дискриминанта многочлена от одной переменной.  

• Дискриминант многочлена от одной переменной обобщает понятие дискриминанта квадратного трехчлена.  

• Рассматривается многочлен от n переменных, который является симметрическим.  

• Этот многочлен представляется в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.  

• Подстановка корней многочлена в симметрический многочлен приводит к дробям.  

• Значение элементарных симметрических многочленов на корнях выражается через коэффициенты многочлена.  

• Умножение на а в степени 2n-2 приводит к многочлену от коэффициентов многочлена.  

• Многочлен от коэффициентов a0, a1, ..., an называется дискриминантом многочлена f.  

• Дискриминант выражается через корни многочлена и его старший коэффициент.  

• Основное свойство дискриминанта: он равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен f имеет кратные корни.  

• Дискриминант можно вычислить, не зная корней многочлена.  

• Дискриминант выражается как многочлен от коэффициентов многочлена.  

• Один из способов вычисления дискриминанта через определитель Вандермонда.  

• Определитель Вандермонда можно представить как произведение двух определителей.  

• Определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей.  

• Определитель Вандермонда можно вычислить через степенные суммы.  

• Определитель произведения матриц равен сумме произведений элементов строк и столбцов.  

• Определитель Вандермонда состоит из степенных сумм переменных.  

• Дискриминант многочлена f равен определителю матрицы, составленной из значений степенных сумм корней многочлена.  

• Для выражения дискриминанта через коэффициенты многочлена f, нужно выразить степенные суммы через элементарные симметрические многочлены.  

• После домножения на старший коэффициент, знаменатели пропадают, и остается многочлен от коэффициентов многочлена f.  

• На следующей лекции будут рассмотрены примеры.