Лекция 8. Критерий Неймана-Пирсона. Расчет вероятностей ошибок обнаружения

• Обнаружение сигналов рассматривается как задача проверки двух состояний объекта.  

• Байесовский подход требует задания вероятностей появления и отсутствия сигнала, что сложно в радиолокации.  

• Обнаружение часто происходит при негауссовских помехах, что усложняет задачу.  

• Вероятность ошибки первого рода должна быть минимальной.  

• Общее число ложных тревог должно быть ограничено для обработки в реальном времени.  

• Байесовский подход не всегда применим, поэтому используется критерий Неймана-Пирсона.  

• Критерий Неймана-Пирсона максимизирует вероятность правильного обнаружения при фиксированной вероятности ложной тревоги.  

• Для решения задачи используется метод множителей Лагранжа.  

• Оптимальный алгоритм обнаружения основан на отношении правдоподобия.  

• Радиолокатор зондирует пространство и получает наблюдения.  

• Плотность распределения наблюдений зависит от наличия сигнала.  

• Оптимальный алгоритм сравнивает сумму наблюдений с порогом, определяемым вероятностью ложной тревоги.  

• Рассматривается точное решение задачи обнаружения для независимых наблюдений.  

• Отношение правдоподобия записывается в виде суммы логарифмов.  

• Плотность распределения суммы независимых случайных величин находится через производную плотности распределения наблюдений.  

• Сумма независимых случайных величин с негаусовским распределением может сильно отличаться от распределения каждой из них.  

• Пример: сумма двух равномерно распределенных случайных величин не является равномерно распределенной.  

• Для нахождения закона распределения суммы используется метод характеристических функций.  

• Характеристическая функция определяется как преобразование Фурье от плотности распределения.  

• Характеристическая функция суммы независимых величин равна произведению характеристических функций слагаемых.  

• Плотность распределения суммы находится с помощью обратного преобразования Фурье.  

• Плотность распределения релеевского распределения равна экспоненциальному распределению с параметром лямбда.  

• Характеристическая функция релеевского распределения равна лямбда минус джи ни.  

• Плотность распределения логарифма отношения правдоподобия можно найти с помощью теории вычетов.  

• Вероятность ложной тревоги вычисляется численно с помощью одномерного интеграла.  

• Вероятность правильного обнаружения определяется как функция отношения сигнал-шум.  

• График зависимости вероятности правильного обнаружения от отношения сигнал-шум важен для практики.  

• В случае негаусовских сигналов используется метод замены распределения логарифма отношения правдоподобия нормальным распределением.  

• Центральная предельная теорема позволяет заменить распределение суммы нормальным при большом числе наблюдений.  

• Математическое ожидание и дисперсия нормального распределения могут быть найдены через известные распределения наблюдений.  

• Математическое ожидание и дисперсия для случая отсутствия сигнала находятся аналогично.  

• Параметры нормальных распределений позволяют найти вероятность ложной тревоги и правильного обнаружения.  

• Пример показывает, как можно применить метод замены распределения для вычисления вероятностей.  

• Интеграл от нормального распределения можно записать через замену переменной.  

• При заданной вероятности ложной тревоги определяется порог т нулевой.  

• Пример: при вероятности ложной тревоги 10^-3 порог т нулевой равен 20 на 2 сигма в квадрате.  

• Вероятность правильного обнаружения определяется интегралом от т-нулевое до бесконечности.  

• График зависимости вероятности правильного обнаружения от отношения сигнал-шум.  

• При отношении сигнал-шум 34 вероятность правильного обнаружения почти достигает единицы.  

• Погрешность в отношении сигнал-шум составляет около 20-30%.  

• При увеличении числа импульсов точность повышается.  

• При 100 импульсах погрешность составляет 1-2%.  

• Используется для проверки точности гауссовского приближения.  

• Метод основан на прямом статистическом моделировании процесса обнаружения сигналов.  

• Формирование вектора наблюдений с помощью датчика случайных чисел.  

• Построение гистограммы для оценки плотности распределения т при отсутствии сигнала.  

• Определение порога обнаружения по гистограмме для заданной вероятности ложной тревоги.  

• Формирование массивов данных для определения вероятности правильного обнаружения.  

• Гистограмма плотности распределения логарифма отношения правдоподобия.  

• Определение порога обнаружения и вероятности правильного обнаружения.  

• Построение зависимости вероятности правильного обнаружения от отношения сигнал-шум.  

• Проведение экспериментов для определения порога обнаружения.  

• Определение погрешности имитации для вероятности ложной тревоги.  

• Дисперсия ошибки и биномиальный закон.  

• Средняя квадратическая погрешность и относительная погрешность.  

• Определение числа экспериментов для заданной относительной погрешности.  

• Пример расчета числа экспериментов для точности 1%.  

• Формирование большого числа групп наблюдений.  

• Выполнение всех действий для получения одной точки на графике.  

• Использование комплексного подхода для ускорения расчетов.  

• Использование гауссовской аппроксимации и статистического моделирования.  

• Теория обнаружения как большая область с неизвестными параметрами помех.  

• Современные методы основаны на статистических методах и новых критериях качества.