Лекция 08. Неравенство Белла. Квантовая нелокальная игра

• Парадоксы Эйнштейна-Подольского-Розена раскрывают физический смысл сцепленности.  

• Сцепленность определяется как состояние, которое нельзя представить как произведение векторов подсистем.  

• В этом разделе рассматривается статистический смысл сцепленности и её проявление в физике.  

• Эксперимент был предложен в 1930-х годах и поднимал вопрос о неполноте квантовой механики.  

• Квантовая механика не может быть дополнена скрытыми параметрами без нарушения локальности и причинности.  

• Введение скрытых параметров приводит к моментальной передаче данных, что противоречит принципу конечности скорости распространения сигнала.  

• Современная версия парадокса предложена Бомом и Бомом в 1960-х годах.  

• Рассматривается квантовая система из двух кубиттов, описываемых в двумерном гибридном пространстве.  

• В начальный момент частицы взаимодействуют, создавая сцепленное состояние, которое является хаотическим для каждой подсистемы.  

• Частицы разлетаются на макроскопическое расстояние, сохраняя спиновое состояние.  

• В лабораториях А и Б производятся измерения проекции спина на соответствующие направления.  

• Наблюдаемые коммутируют, что делает возможным их совместное измерение.  

• Частичное состояние каждой системы является хаотическим, что приводит к равномерному распределению результатов измерений.  

• Ковариация между измерениями в лабораториях А и Б определяется формулой, включающей скалярное произведение векторов.  

• Совместное измерение предполагает передачу данных между лабораториями для вычисления корреляций.  

• Если измерения производятся в одинаковых направлениях, коэффициент корреляции равен минус единице.  

• Это означает, что между исходами измерений существует детерминированная связь.  

• Вектор состояния для оператора измерения спина в направлении А для двух подсистем имеет собственное значение минус один.  

• Если бы спины описывались классическими векторными величинами, это противоречило бы требованию локальности.  

• В квантовой механике состояние системы определяется статистическим постулатом.  

• Эйнштейн предлагал дополнить теорию скрытыми параметрами для устранения противоречия.  

• Вторая альтернатива: вектор состояния описывает процедуру приготовления системы.  

• Это устраняет противоречие с локальностью, но требует отказа от скрытых параметров.  

• В лаборатории А производится измерение, и результаты передаются в лабораторию Б.  

• Статистика корреляции не может быть воспроизведена в классической модели.  

• Неравенство Клаузера-Хорна-Шимони-Хольта доказывает это.  

• В квантовой механике можно добиться выполнения неравенства, что противоречит теории скрытых параметров.  

• Неравенство доказывает, что корреляции удовлетворяют определенному неравенству.  

• Доказательство использует неравенство треугольника и ограничение модуля.  

• Неравенство ограничивает корреляции между случайными величинами.  

• Скрытые параметры описывают квантовые наблюдаемые классическими случайными величинами.  

• Требование локальности заключается в независимости выбора измерения в разных лабораториях.  

• Использование одной и той же случайной величины для разных измерений в одной лаборатории устраняет влияние выбора измерения в другой лаборатории.  

• Рассматриваются два направления измерения для квантовых экспериментов.  

• Всего четыре квантовых эксперимента, соответствующие различным сочетаниям измерений.  

• Корреляции для контурного описания определяются как минус скалярные произведения.  

• Описания для лабораторий А и Б не зависят друг от друга.  

• Существует вероятностное пространство, описывающее совместные состояния.  

• Корреляции определяются выражением, где а1а2 и б1б2.  

• Скрытые переменные и реалистическое описание несовместимы с локальностью.  

• Отказ от локальности позволяет сохранить реализм, но с локальным влиянием второй системы на первую.  

• Модели со скрытыми параметрами для квантовой механики продолжают строиться.  

• Неравенство Белла допускает экспериментальную проверку.  

• Первые эксперименты проводились с фотонами и поляризацией.  

• Нарушение неравенства Белла свидетельствует в пользу квантовой механики.  

• Сцепленность проявляется в необычных формах, особенно для трех кубитов.  

• Рассматривается состояние трех кубитов в суперпозиции.  

• Измерения четырех наблюдаемых показывают противоречие с классическим описанием.  

• Современные тесты подтверждают нарушение неравенства Белла.  

• Квантовые состояния дают новые возможности, недостижимые классическими средствами.  

• Квантовая псевдо-телепатическая игра демонстрирует квантовое превосходство.  

• Игроки А и Б получают номера строк и столбцов.  

• А должен расставить плюс или минус единицы в своей строке, чтобы произведение равнялось единице.  

• Б должен расставить плюс или минус единицы в своем столбце, чтобы произведение равнялось минус единице.  

• Выигрывают, если выбранные элементы совпадают.  

• Игроки могут договориться о заранее выбранной матрице, но такой матрицы не существует.  

• Вероятность выигрыша при случайном выборе равна 8/9, что меньше единицы.  

• Квантовая стратегия позволяет выиграть с вероятностью 1.  

• Игроки используют квантовую сцепленность и измерения.  

• У каждого игрока по два кубита, всего четыре кубита.  

• Состояние распределяется между игроками перед началом игры.  

• Игроки выбирают фиксированную матрицу измерений.  

• Результаты измерений должны совпадать на пересечении строки и столбца.  

• Наблюдаемые операторы коммутируют и имеют собственные значения плюс-минус один.  

• Произведение результатов измерений в каждой строке и столбце равно единице.  

• Квантовое превосходство позволяет выиграть с вероятностью 1.  

• Теоретические предсказания квантового превосходства, такие как алгоритм Шора, остаются гипотетическими.  

• Квантовые корреляции ограничены, что приводит к мему значению.  

• В классической теории можно достичь значения 2√2, но не большего.  

• Квантовая теория накладывает ограничения, как и теория со скрытыми параметрами.  

• Кажущаяся нелокальность не позволяет мгновенно передавать информацию.  

• Рассматривается модель с гильбертовым пространством и четырьмя квантовыми наблюдаемыми.  

• Четыре наблюдаемых должны удовлетворять спектральному условию, чтобы в квадрате давать единицы.  

• Независимость измерений иксов от игриков и наоборот.  

• Линейная комбинация корреляций ограничена по модулю 2√2, а не 2.  

• Пример с двумя спинами показывает максимальное нарушение неравенства.  

• Доказательство неравенства оставлено в качестве задачи.  

• Неравенство показывает, что квантовая статистика не полностью свободна от ограничений.  

• Рассматриваются теории, более общие, чем квантовые, без квантовой локальности.  

• Квантовая статистика ограничивает такие нелокальные черные ящики.  

• Неравенства выражают существенные ограничения квантовой теории.  

• Продолжение темы связано с квантовым функциональным анализом и теорией алгебры фон Неймана.  

• Обсуждение будет завершено на этом.