Степаньянц К. В. - Теоретическая механика I - Движение в центральном поле. Падение на силовой центр

• В центральном поле потенциальная энергия зависит только от модуля расстояния до силового центра.  

• Движение происходит в плоскости, называемой плоскостью Лапласа.  

• Закон движения в квадратурах: зависимость ро от времени и траектория движения.  

• Для качественного исследования движения необходимо нарисовать график эффективной потенциальной энергии.  

• Возможны два случая: когда константа в эффективной потенциальной энергии положительна и когда отрицательна.  

• В случае положительной константы, движение происходит при положительных значениях энергии, частица движется из бесконечности, достигает точки поворота и уходит обратно на бесконечность.  

• В случае отрицательной константы, частица падает на силовой центр, делает несколько оборотов и возвращается в начало координат.  

• Вычисление траектории движения: взятие интеграла в квадратуре.  

• Сравнение результатов вычисления с качественным исследованием движения.  

• В случае 1, уравнение траектории имеет вид:  

• В случае 1, при угле фи равном фи1, ро стремится к бесконечности.  

• При увеличении угла фи, ро уменьшается и достигает минимального значения.  

• При дальнейшем увеличении угла, ро увеличивается и частица уходит на бесконечность.  

• В случае 2, уравнение траектории имеет вид:  

• В отличие от случая 1, здесь пэфи в квадрате на два м минус альфа меньше нуля.  

• В этом случае, частица движется из бесконечности к силовому центру.  

• Рассматривается движение частицы в силовом поле с эффективной потенциальной энергией.  

• Вычисляется интеграл, определяющий траекторию частицы.  

• В случае, когда энергия частицы положительна, интеграл сводится к табличному.  

• Рассматривается случай, когда энергия частицы отрицательна.  

• Вычисляется интеграл, определяющий траекторию частицы.  

• В случае, когда энергия частицы отрицательна, интеграл сводится к табличному.  

• Рассматривается случай, когда энергия частицы отрицательна и меньше нуля.  

• Вычисляется интеграл, определяющий траекторию частицы.  

• В случае, когда энергия частицы отрицательна и меньше нуля, интеграл сводится к табличному.  

• Вычисление функции фи и ро с использованием гиперболического косинуса.  

• Начальные условия для задачи: фи(0) = фи0, ро(0) = ро0.  

• График гиперболического косинуса, показывающий симметричное поведение функции.  

• В начальный момент времени, фи(0) < фи1, ро возрастает до максимума при альфа = 0.  

• Условия падения на центр: пфи²/2м - α < 0.  

• Вычисление пфи в начальный момент времени: мро0²sinβ/2м < α.  

• Энергия частицы: мв0²/2 - α/ро0.  

• Выясняется, что для нахождения времени падения на силовой центр необходимо знать зависимость ро от времени.  

• Для этого используется квадратура, определяемая формулой ро = ро(0) + ∫дро/√2м(е - уэфф).  

• В случае, когда скорость частицы направлена к силовому центру, время падения на силовой центр может быть найдено с помощью интеграла от корня.  

• В случае, когда скорость частицы направлена от силового центра, время падения на силовой центр также может быть найдено с помощью модификации формулы.  

• В этом случае, время падения на силовой центр будет равно корню из м/2е, где ро0 - нижний предел, а ро0 - верхний предел.  

• Первая задача: исследовать движение в потенциале α/r3, где α - положительная величина.  

• Вторая задача: вернуться к задаче о движении в центральном поле, используя сферические координаты.  

• Доказать, что при движении в центральном поле сохраняется момент импульса.  

• В конце концов, дополнительный интеграл движения - проекция момента импульса на ось z.  

• Проекция момента импульса на ось z равна pphi r^2 sin^2(phi).  

• Используя три интеграла движения (энергия, проекция момента импульса на ось z и квадрат момента импульса), записать закон движения в квадратах для частицы, движущейся в центральном поле.  

• Найти зависимости r(t), theta(t) и phi(t) в квадратурах.