4.3. Вписанные и описанные окружности. Вневписанные окружности.

• Вневписанная окружность касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.  

• Для равностороннего треугольника все три вневписанные окружности равны.  

• Для равнобедренного треугольника две вневписанные окружности равны, а третья отличается.  

• Для разностороннего треугольника все три вневписанные окружности различны.  

• Длина отрезка касательной равна полупериметру треугольника.  

• Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вневписанной окружности.  

• Величина, обратная радиусу вписанной окружности, равна сумме обратных радиусов вневписанных окружностей.  

• Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности.  

• Доказательство первого факта: длина отрезка касательной равна половине периметра треугольника.  

• Доказательство второго факта: площадь треугольника равна разности площадей четырехугольника и пятиугольника.  

• Доказательство третьего факта: радиус вписанной окружности равен площади, деленной на полупериметр.  

• Доказательство четвертого факта: площадь треугольника равна квадратному корню из произведения радиусов вневписанных окружностей.  

• Радиус описанной окружности равен сумме радиусов вневписанных окружностей минус радиус вписанной окружности.  

• Решение задачи: найти площадь треугольника, если известны радиусы вневписанных окружностей и их касательные.  

• Используем формулу для площади и полупериметра.  

• Подставляем числовые значения.  

• Основание равнобедренного треугольника равно 12.  

• Радиус вневписанной окружности равен 8.  

• Найти радиус вписанной окружности.  

• Треугольник равнобедренный, основание равно 12.  

• Радиус вневписанной окружности равен 8.  

• Центр вневписанной окружности лежит на биссектрисе угла.  

• Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру.  

• Площадь равна разности полупериметра и стороны.  

• Полупериметр равен сумме длин боковых сторон.  

• Площадь треугольника равна 8 умножить на икс минус шесть.  

• Решаем уравнение: 6 квадратных корней из икс-квадрат минус 36 равно 8 умножить на икс минус шесть.  

• Получаем икс = 150/7.  

• Полупериметр равен икс плюс шесть.  

• Подставляем результат в формулу для радиуса.  

• Четырехугольник описан около окружности и вписан в другую окружность.  

• Радиусы окружностей в треугольниках известны.  

• Площадь четырехугольника равна разности площадей треугольников.  

• Треугольники подобны, коэффициент подобия равен отношению радиусов.  

• Площадь треугольника равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.  

• Площадь четырехугольника равна произведению радиусов, деленному на квадрат котангенса угла.  

• Решение задачи во втором случае аналогично первому.  

• Площадь четырехугольника зависит от положения радиусов.  

• Призыв к самостоятельному решению задач.