Математика ЕГЭ-2025. Вариант 1 из сборника И.В. Ященко "50 вариантов заданий". Профильный уровень.

• Острый угол ромба равен 30 градусов, радиус вписанной окружности равен 2.  

• Проводим диаметр окружности перпендикулярно сторонам ромба.  

• Высота ромба равна 4, так как высоты равны.  

• В прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов катет в два раза меньше гипотенузы, значит, сторона ромба равна 8.  

• Найти квадрат длины вектора a + b.  

• Векторы a = 2, 6 и b = 8, 4.  

• Складываем соответствующие координаты: 2 + 8 = 10, 6 + 4 = 10.  

• Квадрат длины вектора равен 200.  

• В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см.  

• Переливаем жидкость во второй сосуд с диаметром в два раза больше.  

• Объем жидкости равен площади основания, умноженной на высоту.  

• Находим высоту второго сосуда: 16r^2 / 4r^2 = 4.  

• В группе шесть человек, среди них Михаил и Олег.  

• Группу делят на три пары случайным образом.  

• Вероятность, что Михаил и Олег окажутся в одной паре, равна 0.2.  

• На диаграмме Эйлера показана случайная величина X.  

• Вероятности событий указаны около каждого элементарного события.  

• Вероятность, что X меньше или равно 5, равна 0.5.  

• Решить уравнение: тангенс равен корню из 3.  

• Упрощаем уравнение: x + 2 = 1/3 * 6k.  

• Наибольший отрицательный корень равен -6.  

• Найти значение выражения: 2a - 7b + 5 = 7a * 9.  

• Умножаем на знаменатель: 63a - 2b = 45.  

• Прибавляем 10 с обеих сторон: 50.  

• На графике производной функции отмечены восемь точек.  

• Функция возрастает в точках x = 4, 5, 6.  

• Ответ: три точки принадлежат промежуткам возрастания функции.  

• В 2008 году в городском квартале проживало 30 тысяч человек.  

• В 2009 году население увеличилось на 9%, а в 2010 году еще на 8%.  

• В 2010 году население составило 35,316 человек.  

• На графике функции выбраны точки с целыми координатами.  

• Подставлены координаты первой точки, чтобы найти значение б.  

• Подставлены координаты второй точки для нахождения значения а.  

• Найдена функция от 27, которая равна 5.  

• Найдена производная функции и точка экстремума.  

• Определено, что функция убывает на отрезке.  

• Минимальное значение функции достигается в точке пи на четыре.  

• Решено уравнение с косинусом икс.  

• Найдены корни уравнения, принадлежащие отрезку.  

• Определены корни, принадлежащие отрезку минус четырнадцать пи.  

• Доказано, что отношение отрезков равно 1:2.  

• Найдено расстояние от вершины б до плоскости альфа.  

• Объем пирамиды вычислен двумя способами.  

• Доказано, что треугольник равнобедренный, что позволило найти высоту пирамиды.  

• Рассматривается равнобедренный треугольник с катетами 3 и 3 корня из 2.  

• Найдена высота треугольника, равная 3 корня из 19.  

• Площадь треугольника равна 9 корней из 19, а объем пирамиды - 27.  

• Рассматривается неравенство с показательной функцией.  

• Найдены корни многочлена и разложены на множители.  

• Решения: от 0 до 1/3 и от 9 до бесконечности.  

• Кредит на 2,52 млн рублей под 10% годовых.  

• Начисляются проценты каждый январь, выплаты производятся с февраля по июнь.  

• Найдены выплаты за все пять лет, сумма составила 3,66 млн рублей.  

• Доказано, что лучи BM и BD делят угол ABC на три равные части.  

• Найдены углы и расстояния в прямоугольнике.  

• Угол B равен 30 градусам, расстояние от точки пересечения диагонали до прямой CM равно 1.  

• Проведена биссектриса BM, которая делит сторону AB пропорционально боковым сторонам.  

• Треугольник AB является равнобедренным и равносторонним.  

• Найдены стороны и углы треугольника, включая AM и MD.  

• Найдены стороны треугольника MCD.  

• Использована теорема Пифагора для нахождения MC.  

• Найдены синус и косинус угла B в треугольнике MCD.  

• Построен график функции y = -x^2 + 8x / 4.  

• Определены значения параметра a, при которых система уравнений имеет ровно два решения.  

• Найдены значения a, при которых правая и левая ветви галочки касаются графика функции y.  

• Найдены значения a, при которых правая ветвь галочки касается графика функции y.  

• Определены значения a, при которых левая ветвь галочки касается графика функции y.  

• Найдены значения a, при которых правая ветвь галочки касается нижней части графика функции y.  

• Определены значения a, при которых система уравнений имеет ровно два решения.  

• Найдены промежутки значений a, при которых система уравнений имеет ровно два решения.  

• Записаны ответы для задачи 18 и 19.  

• Из пары а, б получается пара 3а + б, 3б - а.  

• Вопрос: можно ли из пары 2, 1 получить пару 7, 1?  

• Решение: 3а + 1 = 7, 3б - а = 1, б = 1, а = 2.  

• Проверка: 3а + 2 = 7, 3б - 2 = 1.  

• Вопрос: если пара CD может быть получена из пары, то и пара D - C может быть получена из другой пары.  

• Решение: если пара CD получена из пары а1, б1, то пара D - C может быть получена из пары а2, б2.  

• Связь между а1, б1 и а2, б2: а1 + б2 = 0, б2 = -а1.  

• Вопрос: найти наименьшее расстояние от пары 9, -2 до пары, полученной из другой пары с помощью операции.  

• Решение: расстояние равно 3а + б - 9 + 3б - а - 2, где а и б - целые числа.  

• Минимальная сумма модулей целых чисел равна нулю или единице.  

• Пример: пара 3, 0 дает расстояние 1, что является ответом.