25.09.2021 Лекция 5. Окрестности, модуль, ограниченность числовых множеств

• Продолжение обсуждения темы математического анализа  

• Обсуждение важных моментов, предшествующих утверждению эквивалентной аксиоме непрерывности  

• Введение определений отрезков, интервалов, полуинтервалов и лучей  

• Обсуждение понятия окрестности и ее важности в теории предела  

• Завершение обсуждения темы и переход к теории пределов  

• Окрестность бесконечности - это объединение двух окрестностей: от минус бесконечности до а и от б до плюс бесконечности.  

• Окрестности плюс-минус бесконечности и бесконечности совпадают с проколотыми окрестностями соответствующих элементов в с чертой.  

• Модуль - это число, которое показывает расстояние от точки до начала координат.  

• Модуль обладает следующими свойствами:  

• Модуль числа равен самому числу, если число неотрицательное.  

• Модуль числа равен противоположному числу, если число отрицательное.  

• Модуль числа равен нулю, если число равно нулю.  

• Модуль числа не может быть отрицательным.  

• В дальнейшем видео будет рассмотрено понятие ограниченности множества.  

• Определение ограниченности числовых множеств сверху и снизу.  

• Доказательство технической леммы о критериях ограниченности множества.  

• Пример множества верхних границ единиц, включая множество нижних границ, ноль включает.  

• Обсуждение важности ограниченности и связанных с ней понятий.  

• Обсуждается определение максимума и минимума множества.  

• Рассматривается множество с нулевым максимумом и минимумом.  

• Доказывается, что для множества ноль один не существует максимума.  

• Рассматривается число, большее, чем единица, и меньшее, чем единица.  

• Вводится определение супрема и инфима множества.  

• Объясняется, что супрем и инфим всегда существуют и могут характеризовать свойства множества.  

• Обсуждается разница между максимумом, минимумом, супремом и инфимом.  

• Вводится принцип точной верхней грани, который эквивалентен аксиоме непрерывности.  

• Доказывается эквивалентность принципа точной верхней грани и аксиомы непрерывности.  

• Если существует максимум икс, то супрем икс - это максимум.  

• Если существует минимум икс, то инфи икс - это минимум.  

• Рассматривается эквивалентное определение супрема и инфима, которое будет использоваться в дальнейшем.  

• Доказывается эквивалентность определения супрема и инфима.