МЕРЗЛЯК-8 ГЕОМЕТРИЯ. ОПИСАННАЯ И ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА. ПАРАГРАФ-10. ТЕОРИЯ

• Объяснение темы: описанная и вписанная окружности четырехугольника.  

• Упоминание сложности и объема темы.  

• Определение: окружность описана около четырехугольника, если проходит через все его вершины.  

• Теорема 10.1: если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противолежащих углов равна 180 градусам.  

• Чертеж и данные: четырехугольник ABCD вписан в окружность.  

• Доказательство: углы A и C, B и D равны 180 градусам.  

• Объяснение через центральные и вписанные углы.  

• Теорема 10.2: если сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180 градусам, то около него можно описать окружность.  

• Доказательство от противного: если точка C не лежит на окружности, то получается противоречие.  

• Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к соседним сторонам четырехугольника.  

• Определение: окружность вписана в четырехугольник, если касается всех его сторон.  

• Теорема 10.3: если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противолежащих сторон равны.  

• Использование правила касательных и теоремы "Вера".  

• Объяснение равенства отрезков и доказательство теоремы.  

• Теорема 10.4: если сумма противолежащих сторон четырехугольника равна, то в него можно вписать окружность.  

• Доказательство от противного: если окружность не касается стороны, то проводится касательная, и сумма сторон становится равной.  

• Вычитание первого равенства из второго.  

• Уничтожение некоторых элементов при вычитании.  

• Получение равенства, где длина одной стороны равна сумме трех других сторон.  

• Длина одной стороны четырехугольника равна сумме трех других сторон.  

• Противоречие с предположением, что сторона меньше суммы трех других сторон.  

• Возможность окружности вылезти за сторону.  

• Центр окружности в четырехугольнике равноудален от всех его сторон.  

• Построение центра через биссектрисы соседних углов.  

• Переход к задачам.  

• Доказательство возможности проведения окружности через четыре точки.  

• Угол между отрезками равен альфа.  

• Доказательство, что точки лежат на одной окружности.  

• Проведение окружности через треугольник.  

• Четырехугольник вписан в окружность.  

• Углы в четырехугольнике равны 180 градусов.  

• Две окружности описаны около четырехугольников.  

• Треугольник абц описан вокруг окружности.  

• Точка м и н лежат на единственной окружности.  

• Важность темы для ОГЭ и ЕГЭ профиль.