Теорема умножения вероятностей | Основные теоремы теории вероятностей

• Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.  

• Событие A называется независимым от события B, если вероятность события A не меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.  

• Пример: бросание двух монет, где появление герба на одной монете не зависит от результата другой.  

• Вероятность события A равна 1/2 и не зависит от события B.  

• Пример: корзина с 6 незакрашенными и 2 закрашенными шариками.  

• Вероятность события B зависит от результата первого шага: если событие B произошло, вероятность события A равна 5/7, если нет — 6/7.  

• Условная вероятность события A при условии, что событие B произошло, обозначается как P(A|B).  

• Если события A и B независимы, условная вероятность равна вероятности события A.  

• Вероятность произведения двух событий равна вероятности первого события, умноженной на условную вероятность второго события при условии, что первое событие произошло.  

• Эта формула работает для любых событий, включая невозможные.  

• Если события A и B независимы, то и событие B независимо от A.  

• Независимые события A и B образуют полную группу событий.  

• Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей каждого события, умноженному на условную вероятность следующего события при условии, что предыдущие события произошли.  

• Доказательство можно провести с помощью метода математической индукции.  

• Независимые события в совокупности имеют вероятность произведения, равную произведению их вероятностей.  

• Пример Бернштейна показывает, что попарная независимость не всегда приводит к независимости в совокупности.  

• Пример с тетраэдром, окрашенным в красный, зеленый и синий цвета.  

• Вероятность выпадения грани с тремя цветами не равна произведению вероятностей этих событий.  

• Попарная независимость событий не делает их независимыми в совокупности.  

• Вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их произведения.  

• Для несовместных событий вероятность произведения равна нулю.  

• Совместность и несовместность событий интерпретируются геометрически.  

• Вероятность произведения равна произведению вероятностей событий.  

• Для зависимых событий вероятность произведения не равна произведению вероятностей.  

• Пример с кругом для иллюстрации зависимости и независимости событий.  

• Пример с кругом для иллюстрации вероятности событий.  

• Вероятности событий и их произведения вычисляются через число благоприятных исходов.  

• Совместные события могут быть зависимыми или независимыми.  

• Пример с изменением общего числа исходов для независимости событий.  

• Независимые события остаются совместными, но их вероятности меняются.  

• Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей.  

• Пример с несовместными событиями.  

• Вероятности несовместных событий не пересекаются, поэтому вероятность произведения равна нулю.  

• Независимость событий выражается через вероятности и геометрически.  

• Пример с прямоугольниками для иллюстрации вероятности событий.  

• Вероятность события равна площади прямоугольника, задающего это событие.  

• Совместные события могут быть независимыми, если их вероятности не зависят друг от друга.  

• Пример показывает, как разбить сложное событие на более простые.  

• Рассматривается стрельба по мишени и вероятность попадания с первого выстрела.  

• Вероятность попадания с первого выстрела составляет 0.4.  

• Вероятность попадания ровно один раз можно разбить на несколько событий.  

• Возможные события: попадание при первом выстреле, попадание при втором выстреле и т.д.  

• Эти события несовместны, поэтому вероятность равна сумме вероятностей каждого события.  

• События независимы, как броски трех монет.  

• Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей каждого события.  

• Вероятность противоположного события равна 1 - вероятность события.  

• Событие "хотя бы одно попадание" можно разбить на несколько подсобытий.  

• Вероятность равна сумме вероятностей попарных несовместных событий.  

• Вероятность события "не попасть ни разу" равна произведению вероятностей всех возможных попаданий.  

• Лекция завершена, показаны примеры использования теорем о независимости и попарной несовместности событий.  

• Эти теоремы помогают решать сложные задачи по вычислению вероятностей.