Лекция 2 | Конечные поля и пересыпания песка | Сергей Дужин | Лекториум

• Расширение полей: одно поле является подмножеством другого.  

• Гомоморфизм полей не нулевой, если он изоморфен вложению.  

• Рассматриваются только конечные поля с конечной размерностью.  

• Поле частных кольца многочленов по неприводимому многочлену.  

• Неприводимый многочлен не раскладывается на множители степени больше единицы.  

• Доказаны три теоремы о полях разложения и конечных полях.  

• Для любого многочлена существует единственное поле разложения.  

• В этом поле многочлен имеет столько корней, какова его степень.  

• Разложение на линейные множители вида x-x1, x-x2, ..., x-xn.  

• Для любого простого числа p существует единственное поле из p^n элементов.  

• Других конечных полей нет.  

• Мультипликативная группа конечного поля циклическая.  

• Использование леммы о группе порядка n.  

• Если число корней степени d из единицы не превосходит m, группа циклическая.  

• Доказательство через функцию Эйлера и порядок элементов.  

• Исправление ошибки в доказательстве теоремы о циклической группе.  

• Доказательство, что конечное поле получается через поле частных кольца многочленов.  

• Неприводимый многочлен существует для любого n и p.  

• Неприводимый многочлен f от x^n в кольце многочленов над простым полем.  

• Фактор-пространство состоит из p^n элементов.  

• Доказательство через образующую группу поля.  

• Минимальный многочлен элемента альфа в расширении полей не приводим и имеет степень м.  

• Если альфа образует мультипликативную группу, то минимальный многочлен альфа не приводим.  

• Минимальный многочлен альфа определяется как наименьший многочлен, который при подстановке альфа в степень м дает ноль.  

• Минимальный многочлен альфа унитарный, что означает, что его можно умножать и делить на любое ненулевое число.  

• Минимальный многочлен альфа единственен и определяется однозначно.  

• Минимальный многочлен альфа всегда не приводим.  

• Подполе, порожденное альфа, является подполем большого поля.  

• Расширение полей включает все операции, выполняемые в полях, включая рациональные выражения и многочлены.  

• Степень расширения равна степени многочлена альфа.  

• Для любых п и м существует неприводимый многочлен степени м по модулю п.  

• Нет простого алгоритма для построения таких многочленов, но существуют сложные алгоритмы, такие как многочлены Конвея.  

• Многочлены Конвея используются для построения полей и работы с ними.  

• Рассматривается расширение поля из двух элементов степени четыре.  

• Существует три неприводимых многочлена степени четыре над полем из двух элементов.  

• Пример показывает, как можно построить поле, используя неприводимые многочлены.  

• Поле разложения строится последовательным добавлением корней неприводимых множителей многочлена.  

• Пример: поле разложения многочлена x^2 + x + 1.  

• Поле разложения включает неприводимые множители, такие как x + a и x + b.  

• Поле F_16 строится путем добавления корней неприводимых множителей.  

• Если выбрать неприводимый множитель с самого начала, поле F_16 получается сразу.  

• Для любого конечного поля всегда есть один примитивный элемент, который дает это поле.  

• Составляется таблица элементов поля F_16 и их минимальных многочленов.  

• Класс элемента x является образующим мультипликативной группы поля.  

• Для некоторых многочленов x не является образующим, и нужно использовать другие элементы.  

• Вычисление степеней элементов поля F_16.  

• Минимальные многочлены для элементов поля: x, x + 1, x^2, x^3, x^4, x^5, x^6, x^7, x^8, x^9, x^10, x^11, x^12, x^13, x^14, x^15.  

• Группа имеет порядок 15, и x^15 равен единице.  

• Выбор элементов для подполья F_4.  

• Элементы, которые в кубе равны единице, образуют циклическую группу порядка 3.  

• Элементы 5 и 10 имеют минимальные многочлены x^2 + x + 1.  

• Минимальный многочлен не меняется при автоморфизмах поля.  

• Группа Галуа для конечных полей всегда существует.  

• Автоморфизмы поля включают автоморфизм Фробениуса и его степени.  

• Орбиты элементов под действием группы Галуа.  

• Минимальный многочлен элемента x^2 равен x^3.  

• Минимальный многочлен элемента 3 равен x^2.  

• Все элементы поля F_16 расписаны по минимальным многочленам.  

• Числа 7, 14  

• Многочлены принимают одинаковые значения на орбитах группы GLn.  

• Орбиты могут иметь длину, равную делителю порядка группы.  

• Орбиты длины 1, 2 и 4 характеризуются своими неприводимыми многочленами.  

• Орбиты длины 1: x^5 и x^10.  

• Орбиты длины 2: x^2 и x+1.  

• Орбиты длины 4: x^3, x^6, x^12, x^9.  

• Орбиты имеют естественный циклический порядок.  

• Орбита x^9: x^3+x^2+x+1.  

• Орбита x^7: x^7+x^4+x^2+x+1.  

• Орбита x^7: x^7+x^14+x^13+x^11.  

• Многочлены f1, f2, f3.  

• Четырехмерное векторное пространство над полем с двумя элементами.  

• Базисные элементы: x^1, x^2, x^3, x^4.  

• Многочлены f1, f2, f3.  

• Многочлен f2 выделяется среди других.  

• Корни многочлена образуют подгруппу порядка 5.  

• Многочлены f1 и f2 эквивалентны.  

• Многочлен f3 уникален.  

• Размерность подпространства, порожденного корнями, равна 4.  

• В случае f1 и f2 подпространство трехмерное.  

• Упражнение для проверки инвариантности размерности.  

• Проверка уникальности многочлена ф три.  

• Важные подгруппы в мультипликативной группе имеют порядок 2 в степени м без единицы.  

• Подгруппы порядка 5 не имеют смысла и не связаны с полями.  

• Построение изоморфизма арифметического поля с абстрактным полем.  

• Выбор базиса в поле для построения изоморфизма.  

• Нормальные базисы и их роль в теории полей.  

• Определение нормального базиса и его орбиты.  

• Примеры нормальных базисов для различных расширений полей.  

• Определение линейного изоморфизма через нормальный базис.  

• Линейные изоморфизмы между полями.  

• Условия для существования расширений полей.  

• Формула для отображения полей и число нормальных базисов.  

• Рассматриваются два конечных множества одинаковой мощности.  

• Множество объекций между этими множествами порождает группу автоморфизмов.  

• Группа автоморфизмов порождается множеством объекций.  

• Множество объекций порождает группу автоморфизмов.  

• В случае расширения конечных полей возникает нетривиальная группа.  

• Формулируются утверждения, которые будут доказаны в следующий раз.  

• Группа перестановок или линейных эндоморфизмов.  

• Группа порождается множеством объекций между нормальными базисами.  

• Композиция любых двух таких отображений имеет тот же вид.  

• В пространстве F2^m действует циклическая группа сдвигов.  

• Группа сдвигов порождается матрицей сдвига.  

• В поле Галуа Fq действует группа Галуа, порожденная софизмом Фробениуса.  

• Действие группы сдвигов коммутирует с отображениями вида фиа.  

• Рекомендуется проверить это утверждение на примере.  

• Изучение элементов с максимально длинной орбитой группы Галуа.  

• Длинные орбиты группы Галуа соответствуют непериодическим ожерельям.  

• Ожерелье — это последовательность нулей и единиц с точностью до циклических сдвигов.  

• Пример для n=4: ожерелья с периодами 1, 2 и 4.  

• Длинные орбиты группы Галуа соответствуют непериодическим ожерельям.  

• Пример: ожерелье с периодом 4 соответствует орбите группы Галуа.  

• Упражнение для студентов: составить таблицу соответствия между орбитами и ожерельями.  

• Планировалось рассказать больше, но времени не хватило.  

• Формулы для числа ожерелий и числа нормальных базисов.  

• Благодарность за внимание.