Сердобольская М.Л. - Теория вероятностей. Семинары - 10.Распределения функций от случайных величин 2

• Рассматриваются задачи, где случайная величина является функцией от двух независимых случайных величин.  

• Решение таких задач часто укладывается в стандартную технику.  

• Начинается с задачи, которая не попадает под общую категорию.  

• Пусть к один и к два - независимые случайные величины с функциями распределения ф один и ф два.  

• Функции распределения не заданы, но известно, что у одной случайной величины функция распределения ф один, а у другой - ф два.  

• Задача: найти распределение случайной величины это со звездочкой снизу и сверху.  

• Начинаем с функции распределения случайной величины это со звездочкой.  

• Вероятность того, что это со звездочкой меньше игрек, выражается через функции распределения ф один и ф два.  

• Используем свойства вероятности и дополнительные события для получения формулы.  

• Вероятность того, что минимум из к один и к два больше или равен игрек, равна единице минус вероятность того, что к один и к два больше или равны игрек.  

• Вероятности независимых случайных величин превращаются в произведение вероятностей.  

• Ответ: функция распределения минимума равна единице минус произведение функций распределения ф один и ф два.  

• Вероятность того, что максимум из к один и к два меньше игрек, равна единице минус вероятность того, что к один и к два меньше игрек.  

• Ответ: функция распределения максимума равна произведению функций распределения ф один и ф два.  

• Для большего числа случайных величин формулы аналогичны.  

• Рассматриваются задачи с дискретными распределениями случайных величин к один и к два.  

• Пример: сумма случайных величин к один и к два распределена по Пуассону с параметрами лямда один и лямда два.  

• Вероятность того, что сумма равна м, равна сумме вероятностей событий, где к один и к два принимают значения, удовлетворяющие условию к плюс к два равно м.  

• Подставляем значения и рассчитываем сумму вероятностей.  

• Получаем формулу для вероятности того, что сумма равна м.  

• Формула очевидна и легко применима для расчета распределения функции от дискретных случайных величин.  

• Сумма по двум индексам стала одномерной.  

• Суммирование ведется от нуля до м, так как кси два не может быть отрицательным.  

• Вероятность равна произведению вероятностей для кси один и кси два.  

• Вынесение экспонент и умножение на м факториал для получения биномиального коэффициента.  

• Использование бинома Ньютона для разложения степени суммы.  

• Сумма двух независимых пуассоновских распределений также имеет пуассоновское распределение с параметрами лямбда один плюс лямбда два.  

• Пуассоновское распределение устойчиво к взятию суммы.  

• Нормальное распределение также устойчиво к суммам и комбинациям.  

• В общем случае распределение суммы случайных величин может отличаться от распределений слагаемых.  

• Одна случайная величина дискретна, другая абсолютно непрерывна.  

• Пример с равномерным распределением на отрезке ноль-один и дискретным распределением, как в бросании орел и решка.  

• Определение диапазона возможных значений случайной величины и начало решения задачи.  

• Случайная величина может принимать любое значение в диапазоне от 0 до 1.  

• Функция распределения случайной величины равна нулю при игрек меньше или равном нулю и единице при игрек больше единицы.  

• В нуле функция распределения также равна нулю.  

• Функция распределения рассчитывается как вероятность того, что игрек меньше игрек.  

• Рассматриваются события, когда кси один и кси два равны нулю и единице.  

• Эти события образуют полную группу, но не закрывают все возможные значения.  

• Используется формула неполной вероятности для расчета вероятности события.  

• Вероятность события равна сумме вероятностей его пересечения с событиями, когда кси два равно нулю и единице.  

• Подставляются значения кси два для расчета вероятностей.  

• Вероятность кси один меньше игрек и кси два равно единице равна произведению вероятностей.  

• Вероятность кси два равно единице известна и равна единице.  

• Вероятность кси один меньше игрек равна единице для всех игрек от нуля до единицы.  

• Складываются вероятности для всех значений игрек.  

• Функция распределения равна нулю при игрек меньше нуля, единице при игрек больше единицы и одной второй игрек плюс одна вторая при игрек от нуля до единицы.  

• График функции распределения показывает кусочно-линейную функцию с скачком в нуле.  

• Рассматриваются задачи с абсолютно непрерывным распределением случайных величин.  

• Описываются сложности расчетов двойных интегралов в теории вероятностей.  

• Обещается подробное объяснение методов расчета двойных интегралов.  

• Рассматриваются независимые случайные величины X1 и X2 с заданными плотностями вероятности.  

• Задача: найти естественное распределение функции от X1 и X2.  

• Пример: X1 равномерно распределена, X2 имеет плотность 2x для x от 0 до 1.  

• X1 и X2 лежат между 0 и 1.  

• Сумма X1 и X2 в квадрате также лежит между 0 и 2.  

• Функция распределения F от Y: 0 при Y < 0 или Y > 2, 1 при 0 < Y < 2.  

• Вероятность того, что X1 + X2^2 < Y, можно рассчитать разными способами.  

• Первый способ: использовать двойной интеграл.  

• Интеграл берется по области, ограниченной условием X1 + X2^2 < Y.  

• Вероятность записывается через интеграл от совместной плотности.  

• Совместная плотность описывает вероятность того, что X1 = x1 и X2 = x2.  

• Интеграл берется по области на плоскости, ограниченной условием X1 + X2^2 < Y.  

• Плотность X1 равна единице, X2 равна 2x.  

• Важно учитывать, что плотности отличны от нуля только в определенных точках.  

• Интеграл берется только по тем значениям X1 и X2, где подынтегральная функция отлична от нуля.  

• Потеря условий может привести к расходящимся интегралам.  

• Важно помнить, что плотности отличны от нуля только в определенном диапазоне.  

• Интеграл рассчитывается с учетом этих ограничений.  

• Двойные интегралы сводятся к повторным интегралам.  

• Рекомендуется изображать область интегрирования для лучшего понимания.  

• Пример: область в квадрате от 0 до 1, заданная неравенством.  

• Граница области определяется равенством.  

• Пример: парабола, выходящая из точки y.  

• Область интегрирования зависит от значения y.  

• Интеграл зависит от значения y.  

• Пример: два случая для y от 0 до 1 и от 1 до 2.  

• Область интегрирования меняется при изменении y.  

• Интеграл - это сумма по непрерывному множеству точек.  

• Переход к повторному интегрированию означает структурирование точек.  

• Два варианта: вертикальные и горизонтальные отрезки.  

• Интегрирование по вертикальным отрезкам при фиксированном x2.  

• Внутреннее интегрирование по x1, внешнее по x2.  

• Интегрирование по горизонтальным отрезкам аналогично.  

• Порядок интегрирования не влияет на результат.  

• Можно интегрировать в любом порядке, удобном для вас.  

• Рассматриваем геометрию и внутреннее интегрирование.  

• Внутреннее интегрирование идет по вертикальному отрезку при фиксированном x2.  

• Пределы интегрирования: от нуля до y - x2 в квадрате.  

• Переходим от двойного интеграла к повторному.  

• Самое левое значение x2 равно нулю, самое большое - корень из y.  

• Внутренний интеграл: от нуля до корня из y - x1.  

• Рассматриваем случай, когда y от единицы до двойки.  

• Парабола и область интегрирования.  

• Два варианта интегрирования: вертикальные и горизонтальные отрезки.  

• Интегрирование по x1 и x2.  

• Проблема с верхней границей вертикальных отрезков.  

• Разбиение на два интеграла для корректного расчета.  

• В теории вероятности нет неопределенных интегралов.  

• Каждый интеграл должен иметь пределы или область интегрирования.  

• Разбиение интеграла на два: x21 и x22.  

• Переписываем порядок интегрирования: dx2, dx1, 2x2.  

• Пределы интегрирования по x1: от 0 до 1.  

• Пределы интегрирования по x2: от x2_c до 1.  

• Интеграл от 0 до y - x2^2.  

• Пределы интегрирования по x2: от x2_c до 1.  

• Нахождение x2_c: корень из y - 1.  

• Интегрирование по горизонтальным прямым.  

• Пределы интегрирования: парабола или 1.  

• Аналитическое выражение: y - x2^2.  

• Порядок интегрирования: dx1, dx2, dx1, dx2, 2x2.  

• Пределы интегрирования: от 0 до x1_c и от 0 до 1.  

• Внутренний интеграл: от 0 до параболы.  

• Использование дополнительной области для упрощения.  

• Интеграл по всей области должен быть равен 1.  

• Переход к криволинейному треугольнику.  

• Пределы интегрирования зависят только от внешней переменной и y.  

• Внутренний интеграл зависит от y и x1.  

• Внешний интеграл зависит только от y.  

• Пределы интегрирования должны быть точными.  

• Ошибки в пределах могут привести к неправильным результатам.  

• Примеры задач на контрольной работе и домашнем задании.  

• Рассматривается задача расчета двойных интегралов.  

• Вводятся независимые стандартные нормальные случайные величины X1 и X2.  

• Определяется величина хи-квадрат с двумя степенями свободы как сумма квадратов X1 и X2.  

• Величина хи-квадрат больше или равна нулю.  

• Функция распределения хи-квадрат равна нулю при игрек меньше или равном нулю.  

• Рассматривается функция распределения при игрек больше нуля.  

• Пишется двойной интеграл от совместной плотности.  

• Подставляются явные выражения для плотностей вероятностей.  

• Переход к полярным координатам для упрощения расчета.  

• Делается замена переменных: X1 = rcosφ, X2 = rsinφ.  

• Интеграл распадается на произведение двух независимых интегралов.  

• Интегрирование по φ и r приводит к экспоненциальной функции.  

• Интегралы берутся методом пристального вглядывания.  

• Плотность вероятности хи-квадрат с двумя степенями свободы равна нулю при игрек меньше нуля и одной второй e^-y/2 при игрек больше нуля.  

• Хи-квадрат с двумя степенями свободы имеет экспоненциальное распределение с параметром одна вторая.