Функция Лагранжа. Обобщенные импульсы. Функция Гамильтона. Гамильтониан консервативной системы.

• В этом параграфе выводится уравнение движения для систем с идеальными голономными связями и потенциальными заданными силами.  

• В качестве примера рассматривается полет связанных тел, где две материальные точки связаны нитью и движутся в поле силы тяжести.  

• В этом параграфе выводятся уравнения движения для систем с идеальными голономными связями и потенциальными заданными силами.  

• Учитываются силы реакции и тождественное выполнение уравнения связей.  

• В этом разделе преобразуется выражение для обобщенной силы, используя скалярное произведение заданной силы на частную производную радиус-вектора точки приложения силы по обобщенной координате.  

• В итоге, обобщенная сила записывается как сумма частных производных потенциальной энергии по обобщенной координате.  

• В системе с идеальными голономными связями и потенциальными силами, полная потенциальная энергия может быть выражена через набор обобщенных координат и времени.  

• Обобщенная сила определяется как частная производная потенциальной энергии по обобщенной координате.  

• Уравнение движения записывается в форме, где фигурирует разница кинетической и потенциальной энергии системы.  

• Функция Лагранжа определяется как разница кинетической и потенциальной энергии системы, выраженная через обобщенные координаты, обобщенные скорости и время.  

• Обобщенный импульс определяется как частные производные функции Лагранжа по обобщенной скорости.  

• Размерность обобщенного импульса зависит от размерности обобщенных координат: если они измеряются в метрах, то размерность обобщенного импульса будет равна размерности обычного импульса, если в радианах - размерности момента импульса.  

• Закон изменения обобщенного импульса выражается как скорость изменения обобщенного импульса, равная частной производной функции Лагранжа по соответствующей обобщенной координате.  

• Если частная производная функции Лагранжа по обобщенной координате равна нулю, то соответствующий обобщенный импульс сохраняется.  

• Циклическая координата - это координата, для которой частная производная функции Лагранжа равна нулю, и обобщенный импульс, соответствующий этой координате, сохраняется.  

• В системе сферического математического маятника, материальная точка массы m подвешена на нити и способна совершать движение под действием силы тяжести.  

• Обобщенные координаты: угол тета - угол между радиус-вектором материальной точки и вертикальной осью, угол фи - угол поворота радиус-вектора точки вокруг вертикальной оси.  

• Декартовы координаты точки выражены через обобщенные координаты.  

• Кинетическая энергия системы выражена через обобщенные координаты и обобщенные скорости.  

• Потенциальная энергия системы выражена через обобщенные координаты.  

• В соответствии с законом сохранения обобщенного импульса, величина пфи, равная частной производной функции лагранжа по обобщенной скорости, остается постоянной.  

• Обобщенный импульс имеет смысл момента импульса материальной точки относительно вертикальной оси.  

• В этом параграфе рассматриваются канонические переменные системы - обобщенные координаты и обобщенные импульсы.  

• Канонические переменные определяют состояние механической системы.  

• Преимущество обобщенных импульсов перед обобщенными скоростями заключается в законе сохранения, который для обобщенных импульсов существует, но не для обобщенных скоростей.  

• Вывод уравнения движения идеальной голономной системы с потенциальными заданными силами с использованием набора обобщенных координат и обобщенных импульсов.  

• Уравнение Лагранжа для систем данного класса.  

• Закон изменения обобщенного импульса: скорость изменения обобщенного импульса равна частной производной функции Лагранжа по соответствующей обобщенной координате.  

• Функция Гамильтона: сумма произведений обобщенной скорости на обобщенный импульс с тем же номером минус функция Лагранжа.  

• Дифференциал функции Гамильтона: сумма по степеням свободы обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени.  

• Уравнения Гамильтона: обобщенная координата с точкой равна производной функции Гамильтона по обобщенному импульсу, обобщенный импульс с точкой равен производной функции Гамильтона по обобщенной координате.  

• Число уравнений Гамильтона в два раза больше, чем число степеней свободы системы.  

• Гамильтониан - это функция обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени.  

• Производная гамильтониана по времени равна сумме по степеням свободы, умноженной на частную производную гамильтониана по времени.  

• Консервативная система - это система, гамильтониан которой не зависит явно от времени.  

• В этом случае, частная производная гамильтониана по времени равна нулю, и гамильтониан остается постоянным в процессе движения системы.  

• Гамильтониан может быть представлен как сумма кинетической и потенциальной энергии системы.  

• Для консервативных систем, кинетическая энергия зависит только от обобщенных координат, а потенциальная энергия не зависит от времени.  

• Кинетическая энергия системы выражается как сумма по степеням свободы от обобщенных скоростей и обобщенных координат.  

• Обобщенный импульс равен частной производной кинетической энергии по обобщенной скорости.  

• Гамильтониан системы - это функция, равная сумме по степеням свободы произведения обобщенной скорости на обобщенный импульс.  

• Для консервативных систем гамильтониан имеет смысл полной механической энергии системы.  

• Для материальной точки в потенциальном силовом поле гамильтониан выражается как сумма кинетической и потенциальной энергии, выраженная через обобщенные координаты и обобщенные импульсы.  

• Разрешая три уравнения относительно величин с точкой игрек с точкой, зет с точкой, можно выразить обобщенные скорости через обобщенные импульсы.  

• Кинетическая энергия приобретает вид: единица поделить на два м, п икс- квадрат плюс по игре квадрат плюс позет- квадрат.  

• Функция Гамильтона: сумма кинетической и потенциальной энергии системы, выраженная через обобщенные координаты и обобщенные импульсы.  

• Полная механическая энергия выражена через декартовы координаты и обобщенные импульсы.