Основы вероятностей и теория меры 12. Борелевские множества. Измеримые функции. Борелевские функции

• Лекция двенадцатая, приближается сессия.  

• Введение в измеримое пространство: тройка X, M, μ.  

• X - множество, M - сигма-алгебра, μ - сигма-аддитивная мера.  

• Измеримое пространство может быть конечным или сигма-конечным.  

• Вероятностное пространство - частный случай измеримого пространства.  

• Мера всего множества равна единице.  

• Курс создан для понимания измеримых пространств.  

• Начало нового раздела, просьба о помощи с листочками.  

• Обсуждение мер и их свойств.  

• Важность понимания измеримых пространств.  

• Случайная величина как числовая характеристика эксперимента.  

• Проблемы с ответами на вопросы о вероятностях.  

• Введение понятия измеримой функции.  

• Измеримое пространство X, M, μ.  

• Измеримое множество A и функция f.  

• f -1 от c до +∞ является элементом M.  

• Лемма о прообразах измеримых множеств.  

• Доказательство, что f -1 от -∞, f -1 от +∞, f -1 от R и f -1 от A, B являются элементами M.  

• Пример с функцией f от A до B.  

• Рассматривается пересечение множеств и их принадлежность.  

• Обсуждается, что элементы множества должны принадлежать всем множествам.  

• Пересечение элементов сигма-алгебры остается внутри сигма-алгебры.  

• Функция f от x измерима, если для любого борелевского множества B, f-1 от B является элементом сигма-алгебры.  

• Функция может принимать бесконечные значения, что не создает проблем.  

• Основная проблема с борелевскими множествами заключается в их неопределенности.  

• Вводится понятие подходящих множеств, которые являются элементами борелевской сигма-алгебры.  

• Подходящие множества определяются как прообразы борелевских множеств.  

• Система подходящих множеств замкнута относительно операций симметрической разности и пересечения.  

• Система подходящих множеств замкнута относительно симметрической разности и пересечения.  

• Прообраз борелевского множества всегда является элементом сигма-алгебры.  

• Система множеств содержит все борелевские множества.  

• Борелевская сигма-алгебра является наименьшей сигма-алгеброй, содержащей все промежутки.  

• Система подходящих множеств содержит все борелевские множества.  

• Каждое борелевское множество является подходящим множеством.  

• Рассматриваются измеримые отображения, которые принимают значения из произвольной сигма-алгебры.  

• Измеримые отображения включают случайные процессы и цилиндрические сигналы.  

• Задача упрощается до изучения случайных величин, которые являются функциями с действительными значениями.  

• Любое открытое множество можно представить как счетное объединение интервалов.  

• Интервалы могут быть бесконечными.  

• Это утверждение будет использоваться в дальнейшем.  

• Любая непрерывная функция на открытом множестве является измеримой.  

• Область определения непрерывной функции должна быть открытым множеством.  

• Измеримость функции проверяется на прообразе луча.  

• Функция называется барелевской, если прообраз любого борелевского множества является борелевским.  

• Любая непрерывная функция на открытом множестве является барелевской.  

• Доказательство аналогично доказательству для измеримых функций.  

• Измеримые функции обладают стандартными свойствами, такими как замкнутость относительно линейных комбинаций.  

• Композиция измеримых функций также является измеримой.  

• Доказательство включает проверку прообраза луча и использование теоремы о прообразе борелевского множества.  

• Линейная комбинация, произведение и частное измеримых функций также являются измеримыми.  

• Доказательство включает рассмотрение множества значений функций и использование теоремы о прообразе борелевского множества.  

• Все непрерывные функции являются барелевскими, что позволяет применять элементарные функции.  

• Рассматривается множество значений, где одна функция строго больше другой.  

• Множество является объединением пересечений рациональных чисел.  

• Прообраз борелевского множества является элементом сигма-алгебры, что делает множество измеримым.  

• Умножение на коэффициенты решается за счет линейного отображения.  

• Если функция измерима, то и её линейное отображение измеримо.  

• Множество измеримых функций замкнуто относительно операций сложения и умножения.  

• Объединение по всем рациональным числам.  

• Введение обозначения для всех рациональных чисел.  

• Доказательство, что это элементы множества М.  

• Баррельские отображения позволяют складывать и умножать функции.  

• Непрерывные функции являются борелевскими.  

• Произведение и сумма измеримых функций также измеримы.  

• Частное измеримых функций также измеримо.  

• Композиции функций измеримы, если одна из функций измерима.  

• Семейство измеримых функций замкнуто относительно композиций.  

• Предельные переходы функций измеримы.  

• Функции могут принимать значения плюс-минус бесконечности.  

• Доказательство измеримости функций через супремум и предел.  

• Супремум и предел измеримых функций также измеримы.  

• Ввод вспомогательного объекта для упрощения доказательств.  

• Доказательство измеримости супремума и предела через счетное объединение пересечений.  

• Предел измеримой функции измерим на множестве, где существует предел.  

• Верхний и нижний пределы измеримых функций также измеримы.  

• Введение функций для верхнего и нижнего пределов и доказательство их измеримости.  

• Рассматривается вопрос измеримости множеств.  

• Обсуждается, почему некоторые множества являются измеримыми.  

• Упоминается, что измеримые множества являются элементами измеримых функций.  

• Обсуждается, почему функция f большая является измеримой.  

• Указывается, что система множеств замкнута относительно предельного перехода.  

• Подчеркивается, что множество измеримых отображений обладает всеми привычными свойствами.  

• Рассматриваются борелевские функции и их прообразы.  

• Упоминается, что множество измеримых множеств не совпадает с множеством борелевских множеств.  

• Поднимается вопрос о том, почему нельзя заменить борелевскую функцию на измеримую.  

• Обсуждается построение кривой Кантора.  

• Объясняется, как строится множество Кантора через итерационный процесс.  

• Упоминается, что множество Кантора состоит из бесконечного числа отрезков и интервалов.  

• Обсуждаются свойства множества Кантора, такие как открытость и замкнутость.  

• Указывается, что множество Кантора нигде не плотно.  

• Подчеркивается, что для любого интервала найдется интервал, не содержащий ни одного представителя множества Кантора.  

• Множество не может быть всюду плотным.  

• В любом интервале найдется интервал, где множество не будет плотным.  

• Пример: множество, где знаменатели равны 3 в степени n.  

• Множество является континуальным.  

• Можно построить взаимно однозначное соответствие между множеством и последовательностью из нулей и единиц.  

• Мощность множества равна мощности континуума.  

• Мера дополнения множества равна нулю.  

• Пример: дополнение множества, где интервалы теряют вес в три раза.  

• Мера множества равна единице, что делает его концептуальным множеством с нулевой мерой.