ТФКП. Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки z=0 и бесконечно удаленной точки

• Рассматривается задача разложения функции в ряд Лорана по степеням z.  

• Функция f от z равна z^3 * exp(-1/z^2) в окрестности точки z=0.  

• Вспоминается разложение экспоненты для любого комплексного числа.  

• Экспонента раскладывается в ряд: 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! и т.д.  

• Делается замена: x = 1/z^2 для получения разложения функции f от z.  

• Получаем разложение функции f от z в окрестности точки z=0.  

• Кольцо сходимости: модуль z меньше плюс бесконечности, но больше нуля.  

• Функция аналитична в этом кольце, кроме точки z=0.  

• Разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки z=0.  

• Замена: t = 1/z для получения разложения в окрестности точки t=0.  

• Разложение функции f от t в окрестности точки t=0.  

• Переход к разложению в окрестности бесконечно удаленной точки z=∞.  

• Разложение в окрестности z=0 и z=∞ совпадает.  

• Правильная часть ряда Лорана в окрестности z=0 содержит только два слагаемых.  

• В окрестности бесконечно удаленной точки главная часть содержит только два слагаемых с положительной степенью, а правильная часть содержит бесконечно много слагаемых.