Лекция 09. Вычисление определителей

• Определитель обладает свойствами полилинейности и косо-симметричности.  

• Эти свойства определяют определитель почти однозначно.  

• Любая полилинейная и косо-симметрическая функция строк матрицы пропорциональна определителю.  

• Приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.  

• Значение функции на матрице равно произведению диагональных элементов и поправочных множителей.  

• Доказательство аналогично доказательству для определителя.  

• Значение функции на произвольной матрице равно произведению поправочных множителей и значения функции на единичной матрице.  

• Функция пропорциональна определителю с коэффициентом лямбда.  

• Доказано, что функция пропорциональна определителю.  

• Матрицы с углом нулей разбиты на четыре блока.  

• Определитель матрицы с углом нулей равен произведению определителей диагональных блоков.  

• Доказательство для треугольных матриц.  

• Приведение матрицы к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.  

• Матрица становится ступенчатой и треугольной.  

• Определитель исходной матрицы равен произведению определителей преобразованных матриц.  

• Рассматриваются элементарные преобразования матриц.  

• Обсуждаются множители в элементарных преобразованиях третьего типа.  

• Переход от матрицы А штрих к матрице А два штриха.  

• Определитель матрицы А равен определителю матрицы А два штриха.  

• Использование формулы для определителя матрицы А штрих через определитель матрицы А два штриха.  

• Матрица А два штриха треугольная, с диагональными блоками.  

• Определитель матрицы А два штриха равен произведению определителей диагональных блоков.  

• Добавление поправочных множителей к определителю матрицы Б штрих.  

• Формула верна для любой матрицы с треугольными блоками.  

• Рассматривается определитель Вандермонда.  

• Матрица состоит из единичек и степеней чисел икс один, икс два и так далее.  

• Определитель Вандермонда является функцией от аргументов икс один, икс два и так далее.  

• Преобразования матрицы для приведения к треугольному виду.  

• Обнуление чисел в первом столбце, кроме первого.  

• Вычитание предпоследней строки из последней с коэффициентом икс один.  

• Двигаемся снизу вверх, вычитая предыдущую строку с множителем x1.  

• В первом столбце все числа обнуляются, кроме верхней единички.  

• В остальных столбцах элементы преобразуются аналогично.  

• Определитель матрицы с углом нулей равен произведению определителей диагональных блоков.  

• Верхний блок размера 1x1, нижний блок по диагонали размера n-1x n-1, нулевой блок.  

• Определитель нижнего блока можно преобразовать, вынося множитель x2-x1.  

• Выносим множители из каждого столбца, получая определитель Вандермонда порядка n-1.  

• Повторяем процесс для определителя Вандермонда порядка n-2 и так далее.  

• В итоге получаем определитель Вандермонда размера 2x2.  

• Определитель Вандермонда равен произведению всех разностей x1-x2, x2-x3 и т.д.  

• Определитель равен нулю, если среди чисел есть одинаковые.  

• Если все числа разные, то произведение разностей не равно нулю.  

• При переходе к меньшему определителю Вандермонда появляются разности оставшихся переменных.  

• В последнем определителе Вандермонда остаются только переменные x-1 и x-2, что приводит к появлению множителя x-1-x-2.  

• Определители обладают свойством однородности по столбцам и строкам.  

• Если столбец умножен на множитель, определитель умножается на этот множитель.  

• Для каждого столбца можно вынести множитель и получить произведение множителей, умноженное на определитель матрицы без множителя.  

• Преобразования матриц могут включать вычитание строк с коэффициентами.  

• Коэффициенты могут быть любыми, включая нулевые.  

• Преобразования первого типа не требуют деления на икс.  

• Квадратная матрица невырождена, если ее определитель отличен от нуля.  

• Приведение матрицы к ступенчатому виду показывает, что невырожденная матрица имеет ранг n.  

• Ступенчатая матрица невырождена, если все числа на диагонали отличны от нуля.  

• Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.  

• Если одна из матриц вырождена, произведение также вырождено.  

• Если матрица невырождена, она может быть представлена как произведение элементарных матриц.  

• В произвольной матрице можно выбрать k строк и k столбцов, образуя квадратную подматрицу.  

• Определитель этой подматрицы называется минором порядка k.  

• Минор порядка k обозначается как mijkl и равен определителю квадратной подматрицы.  

• Определение минора для произвольной матрицы.  

• Миноры порядка n-1 для квадратной матрицы размера nxn.  

• Вычеркивание одной строки и одного столбца для получения дополнительного минора.  

• Дополнительный минор к элементу aij.  

• Вычеркивание строки и столбца, содержащих элемент aij.  

• Определение определителя оставшейся матрицы как дополнительного минора.  

• Алгебраическое дополнение к элементу aij.  

• Умножение дополнительного минора на минус единицу в степени i+j.  

• Определение алгебраического дополнения как определителя n-1 порядка.  

• Формула для определителя квадратной матрицы.  

• Разложение определителя по строке и столбцу.  

• Сведение вычисления определителя n-го порядка к n определителям n-1 порядка.  

• Представление столбца матрицы как суммы столбцов специального вида.  

• Определитель как аддитивная функция по столбцам.  

• Вычисление определителя матрицы через сумму определителей столбцов.  

• Перестановка столбцов для изменения знака определителя.  

• Перестановка строк для изменения знака определителя.  

• Вычисление определителя после перестановок столбцов и строк.  

• Столбец исходной матрицы разложен в сумму столбцов с нулями, кроме одного элемента.  

• Определитель раскладывается в сумму определителей, где на месте разложенного столбца поочередно ставятся слагаемые.  

• Это свойство аддитивности определителя.  

• Определитель матрицы с углом нулей равен произведению определителей диагональных блоков.  

• Сумма определителей равна произведению числа на дополнительный минор элемента.  

• Итоговая формула для разложения по столбцу: сумма произведений элементов на алгебраические дополнения.  

• Разложение по строке сводится к разложению по столбцу через транспонирование.  

• При транспонировании элементы меняются местами, но миноры остаются теми же.  

• Определитель транспонированной матрицы можно разложить по столбцу, используя формулу для исходной матрицы.  

• Лемма утверждает, что сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.  

• Аналогично для столбцов.  

• Доказательство следует из теоремы о разложении определителя по строке.  

• Рассматривается матрица с повторением одной строки дважды.  

• Определитель такой матрицы равен нулю.  

• Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения равна определителю исходной матрицы, разложенному по этой строке.