Лекция 9 (Первообразная. Неопределенный интеграл)

• Неопределенное интегрирование является обратной операцией к дифференцированию.  

• Лекция посвящена нахождению первообразной функции по известной производной.  

• Первообразная функция удовлетворяет соотношению f'(x) = f(x).  

• Примеры: x^3 является первообразной для 3x^2, а x log x - x является первообразной для ln x на интервале от 0 до бесконечности.  

• Любая непрерывная функция на промежутке имеет первообразную.  

• Доказательство теоремы будет рассмотрено в теории определенного интеграла.  

• Любая первообразная функции f(x) может быть представлена как f(x) + c, где c - произвольная постоянная.  

• Доказательство: если f'(x) = f(x), то f'(x) + c также будет первообразной.  

• Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ f(x) dx.  

• Примеры: ∫ 3x^2 dx = x^3 + c, ∫ ln x = x log x - x + c.  

• Таблица основных интегралов помогает найти первообразные для многих функций.  

• Примеры: ∫ sin x = -cos x + c, ∫ x^2 - 2x + 1 = x^2 + 2x + c.  

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых.  

• Постоянные множители можно выносить за знак интеграла.  

• Примеры непосредственного интегрирования с использованием таблицы основных интегралов и свойств линейности.  

• Преобразование выражения тангенс квадрат икс для упрощения.  

• Использование тригонометрических тождеств для выражения синуса и косинуса.  

• Применение операции почленного деления для упрощения.  

• Интегрирование дробей с использованием линейности интеграла.  

• Вычисление первообразных для тангенса икс и икс.  

• Получение ответа с использованием табличных интегралов.  

• Введение формулы замены переменной в неопределенном интеграле.  

• Объяснение формулы для производной сложной функции.  

• Применение формулы для интегрирования подстановкой.  

• Объяснение равенства для первообразных функций.  

• Использование знака подстановки для связывания интегралов.  

• Применение формулы интегрирования подстановкой для упрощения интегралов.  

• Пример с интегралом от функции единица плюс т в квадрате в девятой степени.  

• Пример с интегралом от дроби в числителе единица плюс косинус икс знаменатель икс плюс синус икс.  

• Пример с интегралом от арксинуса икс.  

• Интегрирование тангенса икс с использованием подведения под знак дифференциала.  

• Применение подстановки для упрощения интеграла.  

• Получение ответа с использованием табличных интегралов.  

• Объяснение формулы интегрирования замены переменной.  

• Применение формулы для выражения интеграла от функции через интеграл от обратной функции.  

• Пример использования формулы для интегрирования тангенса икс.  

• Вводим новую переменную x = f от t.  

• В подынтегральном выражении заменяем x на f от t.  

• Раскрываем дифференциал df от t.  

• Первообразная функции f от t равна f от t + c.  

• Возвращаемся к исходной переменной x, выражая t через x.  

• Первообразная функции f от x равна f от x + c.  

• Рассматриваем первообразную функции f от ax + b.  

• Выполняем линейную замену переменной ax + b.  

• Первообразную делим на коэффициент a.  

• Вводим новую переменную t = x в шестой степени.  

• Заменяем x на t в шестой степени в подынтегральном выражении.  

• Преобразуем интеграл, используя рациональные функции.  

• Вводим замену x = a sin t.  

• Заменяем x на a sin t в подынтегральном выражении.  

• Используем формулы понижения степени для интеграла от косинуса.  

• Благодарим за внимание и просим обращаться к разработчикам курса.  

• Советуем активно воспринимать материал, записывая формулировки и разбирая примеры.