7.1 Решение уравнения Лапласа в прямоугольнике

• Решение задачи по уравнению класса в прямоугольнике с условиями на границах.  

• Уравнение класса выглядит как вторая производная по иксу плюс вторая производная по игреку равна нулю.  

• Решение уравнения в виде произведения двух функций на игрек.  

• Решение задачи для функции икс от икс с условиями на концах.  

• Решение задачи для функции игрек от игрек с условиями на концах.  

• Решение задачи для функции икс от икс с условиями на концах.  

• Решение задачи для функции игрек от икс с условиями на концах.  

• Вывод: решение задачи для функции икс от икс и функции игрек от икс.  

• Подставляем граничные условия и находим собственные функции задачи.  

• Решение уравнения для функции икс от икс и игрек от игрек.  

• Поставляем условия для функции икс от игрек и игрек от икс.  

• Решаем систему уравнений для коэффициентов при разных значениях n.  

• Записываем итоговый ответ для функции у от икс игрек.  

• Учитываем, что коэффициенты а, б и б-2 равны нулю при n = 2.  

• Вводится понятие гиперболических тригонометрических функций и их связь с обычными тригонометрическими функциями.  

• Рассматривается задача с уравнением Лопаса в прямоугольнике с нулевыми условиями на границах.  

• Задача решается с помощью замены переменных и решения уравнения Лопаса для каждой из функций.  

• Получаются два решения, каждое из которых является решением исходной задачи.  

• Задача решается аналогично, но с тремя ненулевыми условиями.  

• Подставляются граничные условия и получается ряд для решения.  

• Решается задача о нахождении коэффициентов ряда Фурье для функции, удовлетворяющей условиям на границах прямоугольника.  

• Найдены коэффициенты для функции в от икс-игрек.  

• Аналогично решается задача для функции дубль в от икс-игрек, где икс и игрек меняются местами.  

• Найдены коэффициенты для функции дубль в от икс-игрек.  

• Автор решает задачу с уравнением Опаса, используя ряд Фурье и производные.  

• Задача решается в два этапа: сначала для функции, затем для функции.  

• Автор объясняет, как решить задачу с прямоугольником, если условия не начинаются с нуля.  

• Он предлагает заменить переменную икс-игрек на кси-икс, чтобы задача стала проще.  

• Автор предлагает посмотреть задачи из задачника Ефимова и Боголюбова-Кравцова для самостоятельного решения.