Многомерный анализ, интегралы и ряды, Иванов Г.Е., консультация к устному экзамену, 27.05.2023

• Обсуждение программы экзамена, включающей вопросы из разных тем, таких как дифференцирование, интегрирование и ряды.  

• Упоминание о важности формулы Ньютона-Лейбница и связи между дифференцированием и интегрированием.  

• Обсуждение определения дифференцируемости функции и дифференциала.  

• Упоминание о том, что дифференциал функции - это линейное отображение, которое превращает функцию в вектор.  

• Обсуждение необходимых условий дифференцируемости функции, таких как существование частных производных.  

• Вводится понятие дифференцирования суперпозиции функций, где вместо производных используются матрицы.  

• Обсуждается, что перестановка местами матриц в произведении не допускается.  

• Теорема о независимости смешанных производных утверждает, что если смешанные производные существуют и непрерывны в точке, то они совпадают.  

• Обсуждается обобщение этой теоремы на случай производных более высокого порядка.  

• Доказывается, что если смешанные производные существуют и непрерывны в точке, то они совпадают независимо от порядка дифференцирования.  

• Обсуждается, как доказать независимость смешанных производных, если меняются местами две соседние компоненты.  

• Если производная катого порядка существует и непрерывна в точке, то производные меньшего порядка также существуют и непрерывны в окрестности этой точки.  

• Обсуждается, как это следует из определения производной и как это используется в доказательстве независимости смешанных производных.  

• В билете экзамена не содержится вопрос об интегралах, но на контрольной работе могут быть такие задачи.  

• В билетах обычно не упоминаются интегралы от рациональных функций, но на контрольной могут быть такие задачи.  

• Теорема о неявной функции состоит в том, что если функция f является непрерывной и дифференцируемой, то существует решение системы уравнений f(x, y) = 0.  

• Доказательство состоит в применении принципа сжимающих отображений.  

• В билете экзамена не требуется доказывать дифференцируемость неявной функции, но экзаменатор может попросить это сделать.  

• Обсуждение теоремы об обратном отображении и ее применения в доказательстве других теорем.  

• Упоминание о теореме расщепления отображений и ее использовании в доказательстве теоремы о замене переменных в кратных интегралах.  

• Обсуждение основной теоремы алгебры и ее доказательства.  

• Упоминание о признаках сравнения сходимости числовых рядов и интегральном признаке сходимости.  

• Обсуждение независимости суммы абсолютно сходящегося ряда от порядка слагаемых и перемножения абсолютно сходящихся рядов.  

• Обсуждение теоремы Римана о перестановке слагаемых условно сходящегося ряда.  

• Обсуждение доказательства теоремы Римана и его применения в перестановке слагаемых ряда.  

• Определяются два ряда: бкаты и цкаты, состоящие из членов исходного ряда.  

• На каждом шаге определяется новый член ряда, исходя из знака предыдущего члена.  

• Строятся ожиты, состоящие из членов рядов бкаты и цкаты.  

• Доказывается, что оба ряда расходятся, и строится новый ряд с нужной суммой.  

• Мера либега и интеграл либега строятся как матрешка: сначала клетка, затем клеточное множество, его мера и верхняя мера произвольного множества.  

• Определяется понятие верхнего меры и измеримого множества.  

• Обсуждается, что верхняя мера может быть определена для любого множества, но не всегда обладает аддитивностью.  

• Измеримые множества обладают аддитивностью и сигма-аддитивностью.  

• Определяется интеграл Либерга для счетно-ступенчатых функций.  

• Доказывается корректность определения и линейность интеграла.  

• Обсуждается существование интеграла для неотрицательных измеримых функций.  

• В видео обсуждается теорема Римана, которая утверждает, что если функция измерима и не отрицательна, то существует интеграл.  

• Если нижний интеграл конечен, то верхний интеграл также конечен.  

• Если функция измерима, то ее модуль также интегрируем.  

• Если модуль функции интегрируем, то и сама функция интегрируема.  

• Площадь круга и объем тела вращения могут быть вычислены с помощью интеграла.  

• Связь интегрируемости по Риману и полибегу, непрерывность интеграла и другие вопросы также обсуждаются в видео.  

• В видео обсуждаются теоремы о сходимости интегралов, включая теорему Лебега о сходимости ограниченной сходимости и теорему о существовании интеграла от измеримой функции.  

• В видео также обсуждаются идеи доказательства этих теорем, включая построение множеств икаты и использование непрерывности интеграла по множествам.  

• В видео обсуждается связь между сходимостью несобственного интеграла и существованием собственного интеграла.  

• Если несобственный интеграл сходится абсолютно, то это эквивалентно существованию собственного интеграла.  

• В видео обсуждаются признаки Дирихле и Абеля, которые используются для доказательства сходимости функциональных рядов и последовательностей.  

• Важно знать фамилии авторов этих теорем и не путать их с другими теоремами.  

• В билетах есть все необходимые вопросы по теме, кроме формулы Каша-Дамара.  

• Теорема о дифференцировании степенного ряда основана на теореме о дифференцировании функционального ряда, которая требует равномерной сходимости ряда из производных.  

• Для доказательства дифференцируемости на интервале сходимости, необходимо подобрать такой меньший отрезок, чтобы на нем сходимость была равномерной.  

• Для доказательства аналитичности функций экспоненты, косинуса, гиперболического косинуса и степенной функции используются достаточные условия аналитичности, основанные на формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.  

• Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа не подходит для этих функций, так как содержит неопределенность.  

• Верхняя мера не является аддитивной, что следует из примера Виталя.  

• Если множество измеримо, то сумма верхних мер этого множества и его дополнения должна быть больше единицы.