Вычеты и ряд Лорана | Лекция 29 | Математический анализ 3 | А. В. Возианова

• Автор объясняет, что была занята мыслями о ребенке и написала не то, что нужно.  

• Рассматривается параметризация окружности с центром в нуле.  

• Обсуждается, как сдвижка центра влияет на радиус и экспоненты.  

• Интеграл по окружности с центром в нуле равен двум пи.  

• Обсуждается, что радиус окружности не влияет на значение интеграла.  

• Подчеркивается, что интеграл по окружности равен двум пи, независимо от радиуса.  

• Вводится теорема Каши для галаморфных функций на жордановой кривой.  

• Интеграл по жордановой кривой равен нулю, если функция галаморфна.  

• Обсуждается, что если функция галаморфна и контур замкнут, интеграл равен нулю.  

• Теорема Каши позволяет не вычислять интегралы для галаморфных функций.  

• Если функция галаморфна и контур замкнут, интеграл равен нулю.  

• Обсуждается, что если особые точки функции не попадают в контур, интеграл также равен нулю.  

• Если функция имеет особые точки, интеграл принимает значение в этих точках.  

• Обсуждается, что интеграл равен значению функции в особой точке, умноженному на два пи.  

• Подчеркивается, что функция в числителе должна быть галаморфной.  

• Рассматриваются два варианта интегрирования функций: непрерывные и галаморфные.  

• Для разрывных функций используется интегральная формула Каши.  

• Доказывается, что интеграл от функции, удовлетворяющей условиям теоремы, равен нулю.  

• Автор не бронировала церковь, чтобы быть ближе к месту событий.  

• Планирует использовать GPS-навигатор для поиска мужа и ребенка.  

• Обсуждает проблемы с парковкой и отсутствием дивана.  

• Рассматриваются интегралы и их особенности для функций комплексной переменной.  

• Вводится понятие вычета, который помогает вычислять интегралы.  

• Объясняется, что в окрестности особых точек интеграл равен нулю, а в остальной области - число.  

• Обсуждаются различные типы особых точек: нули, разрывы второго рода.  

• Вводятся понятия полиса и существенно особой точки.  

• Подчеркивается, что для функций комплексной переменной особые точки вносят не нулевой вклад.  

• Объясняется, как вычисляются вычеты и их связь с рядами Лорана.  

• Вспоминаются требования для разложения функции в ряд Тейлора.  

• Обсуждаются особенности разложения функций комплексного переменного в ряд Лорана.  

• Рассматривается разложение функции в ряд Лорана.  

• Подчеркивается, что ряд Лорана отличается от ряда Тейлора.  

• Объясняется, что ряд Лорана можно записать в разных формах, но суть остается той же.  

• Формулы для рядов Тейлора и Лорана фактически одинаковы.  

• Для вещественной переменной слагаемые с отрицательными степенями отсутствуют.  

• Для комплексной переменной появляются слагаемые с отрицательными степенями.  

• Функция f z = 1 / z - 1^2 уже разложена в ряд Лорана.  

• В точке z = 0 коэффициент при z -2 равен единице.  

• Для вещественной переменной такого разложения нет.  

• Главная часть ряда Лорана появляется только при наличии особых точек.  

• Для непрерывной функции главная часть отсутствует.  

• Количество слагаемых главной части указывает на порядок особой точки.  

• Устранимая особая точка не имеет главной части.  

• Вычет в устранимой особой точке равен нулю.  

• Главная часть отсутствует для устранимой особенности.  

• Полюс определяется по наибольшему порядку слагаемого главной части.  

• Пример: полюс второго порядка имеет одно слагаемое с коэффициентом z -2.  

• Полюс пятого порядка имеет слагаемые с коэффициентами z -5, z -4 и т.д.  

• Существенная особая точка имеет бесконечное число членов главной части.  

• Вычет в существенно особой точке равен минус первому коэффициенту.  

• Пример: полюс первого порядка имеет вычет, равный значению функции в точке z = 0.  

• Полюс первого порядка означает, что функция не обращается в ноль в точке z = 0.  

• Пример: отношение двух функций, где числитель не обращается в ноль, а знаменатель равен нулю.  

• Вычет можно вычислить по двум формулам в зависимости от выражения.  

• Полюс порядка n имеет слагаемые с коэффициентами z -n и т.д.  

• Пример: полюс пятого порядка имеет слагаемые с коэффициентами z -5, z -4 и т.д.  

• Формула для полюса первого порядка является частным случаем общей формулы.  

• Интегралы и ряды Лорана связаны через понятие вычета.  

• Вычет равен минус первому коэффициенту в разложении функции в ряд Лорана.  

• Ряд Лорана помогает определить порядок полюса функции.  

• Вычет в особой точке равен минус первому коэффициенту ряда Лорана.  

• Интеграл от функции с особенностями равен сумме вычетов по этим особенностям.  

• Интеграл от функции с особенностями равен сумме вычетов по этим особенностям.  

• Вычеты в изолированных особых точках равны минус первому коэффициенту.  

• Сумма вычетов в области и на бесконечности равна нулю.  

• Интеграл вещественной переменной с особенностями.  

• Преобразование интеграла в интеграл от комплексной переменной.  

• Использование контура для замыкания интеграла и вычисления вычетов.  

• Интеграл равен вещественной части от 2πi и вычета в точке b.  

• Для вычисления вычета нужно посчитать знаменатель.  

• В точке b обнуляется одна скобка, а другая функция не равна нулю.  

• Используется формула для вычета с скобкой.  

• Предел при z стремится к b от выражения без скобки.  

• Подставляем значение b и получаем выражение e^(-a*b*x)/2b.  

• Интеграл от функции вещественной переменной не должен давать комплексное число.  

• Вещественная часть выражения остается e^(-a*b*x)/2.  

• Получаем число, так как экспонента в вещественной степени и делится на вещественное число.  

• Замкнутый контур с окружностью бесконечного радиуса используется для вычисления интеграла.  

• Замкнутость контура важна, радиус не имеет значения.  

• Это позволяет получить ответ, не зависящий от радиуса.  

• Эти знания помогут понять интегралы от комплексной переменной и вычеты.  

• В реальных задачах часто встречаются интегралы от комплексной переменной.  

• В РГР будет серьезный блок по комплексной переменной, который нужно будет изучить самостоятельно.