Лекция 21. Поле рациональных дробей

• Рассматриваются дроби элементов из целостного кольца.  

• Вводится отношение эквивалентности на множестве пар элементов.  

• Классы эквивалентности называются дробями.  

• Определяются операции сложения и умножения дробей.  

• Проверяется корректность этих операций.  

• Множество дробей становится алгебраической структурой.  

• Множество дробей с операциями сложения и умножения является полем.  

• Проверяются аксиомы поля: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность.  

• Операции над дробями сводятся к операциям над числителями.  

• Пример проверки коммутативности сложения и умножения дробей.  

• Вводится понятие нулевого элемента как дроби с числителем ноль и знаменателем единица.  

• Единичный элемент определяется как дробь один к одному.  

• Противоположный элемент к дроби а/б равен дроби минус а/б.  

• Обратный элемент к дроби а/б существует, если а не равно нулю.  

• Поле дробей содержит подкольцо дробей со знаменателем единица.  

• Это подкольцо изоморфно исходному кольцу а.  

• Каждый элемент поля дробей можно представить как частное элементов кольца а.  

• Множество дробей со знаменателем единица замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.  

• Это множество является подкольцом кольца.  

• Соответствие, отображающее элементы кольца в дроби со знаменателем единица, является изоморфизмом.  

• Соответствие согласованно с операциями сложения и умножения.  

• Две дроби равны тогда и только тогда, когда равны их числители.  

• Это соответствие устанавливает изоморфизм между исходным кольцом и подкольцом дробей.  

• Каждый элемент поля дробей представляется в виде частного элементов исходного кольца.  

• Минимальное расширение кольца до поля добавляет обратные элементы и умножение на обратное.  

• Знак деления у дроби имеет смысл деления, а не просто обозначения класса эквивалентности.  

• Поле дробей кольца целых чисел — это поле рациональных чисел.  

• Поле дробей кольца многочленов от одной переменной с коэффициентами из поля К — это поле рациональных дробей от одной переменной.  

• Рациональная дробь задает рациональную функцию на подмножестве поля К.  

• Корни знаменателя исключаются из области определения функции.  

• Равные дроби задают равные рациональные функции.  

• Две дроби равны, если их числители и знаменатели равны.  

• Равные дроби определяют равные рациональные функции.  

• Для бесконечного поля формальное равенство равносильно функциональному.  

• Изучение структуры рациональных дробей важно для интегрирования и изучения поведения функций вблизи особых точек.  

• Первое упрощение рациональной дроби — сокращение числителя и знаменателя на общий множитель.  

• Несократимые дроби имеют взаимно простые числитель и знаменатель.  

• Любую рациональную дробь можно записать в виде несократимой дроби.  

• Представление дроби в виде несократимой дроби единственно с точностью до умножения на константу.  

• Доказательство: если числитель и знаменатель дроби не равны нулю, то можно найти наибольший общий делитель и сократить дробь на него.  

• Если дробь можно записать в виде несократимой дроби двумя способами, то числители и знаменатели должны быть взаимно простыми.  

• Если числители и знаменатели взаимно просты, то они не могут иметь общих делителей, кроме константы.  

• Константа может быть только элементом поля, что доказывает единственность представления.  

• Правильная дробь — это дробь, у которой степень числителя меньше степени знаменателя или числитель равен нулю.  

• Правильные дроби образуют подкольцо без единицы в поле рациональных дробей.  

• Любую рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.  

• Простейшая дробь — это дробь, у которой числитель меньше степени неприводимого множителя в знаменателе.  

• В поле комплексных чисел простейшие дроби имеют вид константы, деленной на степень линейного двучлена.  

• В поле действительных чисел простейшие дроби могут иметь в знаменателе квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом.  

• Правильная дробь р = ф/ж раскладывается на неприводимые множители.  

• Пропорциональные множители группируются в одну степень.  

• Существует единственное разложение правильной дроби на сумму простейших дробей.  

• Каждому неприводимому множителю соответствует несколько простейших дробей.  

• Простейшие дроби имеют знаменатели, возрастающие по степеням множителя.  

• Сумма простейших дробей компактно записывается с помощью знака суммирования.  

• Разложение дроби на сумму простейших следует из серии лемм.  

• Лемма 1: Если знаменатель дроби разложен на два взаимно простых множителя, дробь можно представить как сумму двух правильных дробей.  

• Доказательство: умножение дроби на произведение множителей и деление с остатком.  

• Правильную дробь можно разложить на сумму правильных дробей со степенями неприводимых множителей.  

• Доказательство индукцией по числу неприводимых множителей.  

• Применение леммы 1 для разложения дроби на сумму правильных дробей.  

• Правильную дробь можно разложить на сумму простейших дробей, где степень числителя меньше степени знаменателя.  

• Доказательство индукцией по степени множителя.  

• Деление числителя с остатком на знаменатель для получения простейших дробей.  

• Степень остатка будет меньше степени делителя.  

• Деление на делитель в степени k приводит к правильной дроби.  

• Второе слагаемое будет простейшей дробью.  

• Первая дробь будет правильной.  

• Вторая дробь будет простейшей.  

• Применение предположения индукции для первой дроби.  

• Представление правильной дроби в виде суммы простейших дробей.  

• Завершение доказательства существования разложения.  

• Единственность разложения будет рассмотрена позже.  

• Доказательство ведется от противного.  

• Предположим, что существуют два разных разложения одной дроби.  

• Умножаем равенство на общий знаменатель, что приводит к равенству многочленов.  

• Сумма разностей числителей не равна нулю.  

• Выбираем ик так, чтобы разность числителей была ненулевой.  

• Одно слагаемое не делится на степень, на которую делятся остальные слагаемые.  

• Противоречие доказывает, что два разных разложения невозможны.  

• Разложение единственно.  

• Доказательство теоремы завершено.  

• Завершение работы с рациональными дробями.  

• Переход к изучению кольца многочленов от нескольких переменных.  

• Определение кольца многочленов от нескольких переменных аксиоматически.  

• Кольцо многочленов от n переменных с коэффициентами из кольца K является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей.  

• Обозначается как K[x1, ..., xn].  

• Содержит исходное кольцо K и n элементов, называемых переменными x1, ..., xn.  

• Кольцо содержит исходное кольцо K.  

• Содержит n элементов, называемых переменными x1, ..., xn, которые не лежат в исходном кольце.  

• Любой элемент f из K[x1, ..., xn] представляется в виде суммы произведений переменных в степенях, умноженных на коэффициенты из K.  

• Элемент f представляется в виде суммы произведений aki x1^ki, ..., xn^kn, где ki - целые неотрицательные числа.  

• Сумма может быть бесконечной, но с конечным числом отличных от нуля коэффициентов.  

• Можно добавлять нулевые слагаемые без изменения суммы.  

• Элементы aki принадлежат исходному кольцу K и называются коэффициентами многочлена f.  

• Произведения переменных в степенях называются одночленами.  

• Любой элемент кольца многочленов представляется в виде линейной комбинации одночленов с коэффициентами из K.  

• Кольцо многочленов от n переменных существует и единственно с точностью до изоморфизма.  

• Теорема аналогична теореме для кольца многочленов от одной переменной.  

• Доказательство теоремы будет рассмотрено на следующей лекции.