Базельская задача, Часть 1: Приближение Эйлера-Маклорена

• Видео обсуждает сумму Эйлера, которая была обнаружена в 1600-х годах и имеет значение, равное пи в квадрате, умноженному на 6.  

• В видео также обсуждается процесс приближения этой суммы и ее связь с числом пи.  

• Видео объясняет, как Эйлер использовал математические методы для приближения этой суммы с точностью до 17 знаков после запятой.  

• Затем Эйлер использовал эти приближения для доказательства того, что сумма равна пи в квадрате, умноженному на 6.  

• Видео объясняет, как использовать интегрирование по частям для оценки каждого из интервалов и объединения их вместе.  

• В итоге, формула для оценки суммы становится интегралом от нуля до единицы от x минус половина умножить на f простого числа x dx.  

• Формула для a, которая включает интеграл от нуля до единицы от x минус половина, умноженного на f, где f - производная от x.  

• Интеграл от нуля до единицы от x минус половина равен нулю, если f является линейным.  

• Формула для a представляет собой сумму граничных условий и интеграла от k-й производной от f.  

• Индуктивное определение k-й формулы для a, где k-я производная от f входит в интеграл.  

• Пример вычисления формулы для v-три, где v-три равно x в кубе, умноженному на шесть, минус x в квадрате, умноженному на четыре, плюс x в квадрате, умноженному на двенадцать.  

• Автор объясняет, как вычислять многочлены Бернулли, используя производные и интегралы.  

• Он также обсуждает, как нормализовать многочлены, чтобы упростить вычисления.  

• Автор обсуждает, как приблизить сумму, используя многочлены Бернулли и производные функции f.  

• Он объясняет, что интеграл в конце формулы может быть заменен на волнистое равенство, если он достаточно мал.  

• Автор объясняет, как применить формулу для работы с интервалами от i до i+1, используя преобразование переменных.  

• Он подчеркивает, что формула может быть применена к любой функции f, если она может быть дифференцирована достаточное количество раз.  

• В видео обсуждается приближение Эйлера для суммы обратных квадратов, где n увеличивается от единицы до бесконечности.  

• Приближение основано на использовании чисел Бернулли и их производных.  

• Приближение оценивается с точностью до 20 знаков после запятой, что является очень точным результатом.  

• Приближение Эйлера-Маклорена используется в аналитической теории чисел для доказательства различных теорем.  

• В видео обсуждается странное поведение аппроксимации Эйлера-Маклорена, когда к сумме добавляется все больше и больше членов.  

• Вместо того, чтобы приближаться к фактическому значению, аппроксимация сначала приближается, а затем расходится.  

• В видео объясняется, что числа Бернулли и многочлены Бернулли были открыты независимо друг от друга Бернулли и Секи.  

• Они обладают неожиданным свойством: если проинтегрировать k-й многочлен Бернулли от x до x+1, то всегда получается x в k-й степени.  

• В видео приводится формула Гаусса для суммы k-х степеней, которая может быть получена из многочленов Бернулли.  

• Формула Гаусса используется для вычисления суммы k-х степеней 1-го из n целых чисел.