Лекция по матанализу №2, 2 сем. Свойства интегрируемых функций, модуль интеграла. Теорема о среднем.

• Приветствие и проверка связи.  

• Объявление о двух олимпиадах по математике и информатике.  

• Призыв заявляться на олимпиады.  

• Обсуждение основной теоремы и условий интегрируемости.  

• Предел интегральных сумм не зависит от способа разбиения и выбора точек.  

• Условие равенства верхнего и нижнего интегралов.  

• Возможность использования фиксированных последовательностей разбиений.  

• Пример с последовательностью разбиений на равные куски.  

• Условие существования предела интегральных сумм.  

• Монотонные функции интегрируемы на отрезке.  

• Пример монотонной функции с разрывами.  

• Доказательство теоремы для монотонных функций.  

• Пример с разбиением на равные отрезки.  

• Вычисление верхней и нижней сумм.  

• Доказательство равенства верхней и нижней сумм.  

• Вычисление разности верхней и нижней сумм.  

• Предел разности при стремлении к бесконечности.  

• Доказательство интегрируемости монотонных функций.  

• Непрерывные функции интегрируемы на отрезке.  

• Теорема об интегрируемости непрерывных функций.  

• Связь с неопределенным интегралом Римана.  

• Понятие равномерной непрерывности.  

• Функция непрерывна на отрезке, если модуль непрерывности стремится к нулю.  

• Равномерная непрерывность означает, что разность между верхней и нижней суммами стремится к нулю.  

• Введение произвольного разбиения отрезка.  

• Вычисление разности между верхней и нижней суммами.  

• Функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения на отрезке.  

• Функция интегрируема на отрезке, если она интегрируема на его частях.  

• Доказательство однородного свойства интегрируемости.  

• Интеграл от a до b равен сумме интегралов от a до c и от c до b.  

• Интеграл от a до b равен интегралу от a до c минус интеграл от c до b.  

• Интеграл от a до b равен сумме интегралов от a до c и от c до b.  

• Интеграл от a до b равен произведению модуля функции на интеграл от a до b.  

• Если функция неотрицательна на отрезке, то её модуль интегрируем.  

• Произведение интегрируемой функции на неотрицательную интегрируемо.  

• Интеграл от a до b равен отношению модуля функции к интегралу от a до b.  

• Интегральные суммы стремятся к интегралам при стремлении мелкости разбиения к нулю.  

• Функции ф и ж интегрируемы, что позволяет свести интегральные суммы к интегралам.  

• Равенство интегралов подтверждается.  

• Модуль произведения и разности двух значений.  

• Разность модулей не превосходит модуль разности.  

• Переход к супремуму и инфимуму показывает, что разность модулей стремится к нулю.  

• Оценка разности между верхней и нижней суммами произведения через разность между суммами данных функций.  

• Использование ограниченности функций ф и ж.  

• Переход к управлению и суммирование для получения разности между суммами произведения.  

• Доказательство для частного аналогично доказательству для произведения.  

• Использование отделимости функции от нуля для оценки разности.  

• Переход к супремуму и инфимуму для получения разности, стремящейся к нулю.  

• Если функция интегрируема на отрезке, то и её модуль интегрируем.  

• Обратное утверждение неверно, пример с функцией Дирихле.  

• Модуль интегрируемой функции всегда интегрируем, но обратное не всегда верно.  

• Неравенство: если функции ф и ж интегрируемы на отрезке, то интеграл от ф не превосходит интеграл от ж.  

• Объяснение через интегральные суммы и выбор разбиения.  

• Сумма интегралов не превосходит интеграла от суммы.  

• Модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля.  

• Интеграл от модуля функции не превосходит интеграла от функции.  

• Интеграл от произведения двух интегрируемых функций равен константе.  

• Константа лежит между супремумом и инфимумом одной из функций.  

• Если одна из функций равна нулю, интеграл равен нулю.  

• Если одна из функций тождественно равна единице, интеграл равен длине промежутка.  

• Если функция непрерывна, найдется точка, в которой интеграл равен значению функции в этой точке.  

• Теорема о среднем аналогична теореме Лагранжа.  

• Интеграл от функции на отрезке равен площади криволинейной трапеции.  

• Площадь прямоугольника компенсирует площадь криволинейной трапеции.  

• Теорема работает и для функций, которые не являются непрерывными.  

• Благодарность за внимание и поздравление с наступающим праздником.  

• Пожелания символического праздника и прощание.