A.7.2 Скалярное произведение векторов - это просто!

• Канал "До ПДВ" продолжает обсуждать векторы.  

• В прошлый раз обсуждались основные свойства векторов, сложение, умножение на числа, длина и направление.  

• Следующий шаг - умножение векторов.  

• Существует пять видов умножения векторов: скалярное, векторное, тензорное, кватернионное и внешнее.  

• Сегодня рассматривается скалярное произведение векторов.  

• Вектор состоит из компонент, которые являются действительными числами.  

• Скаляр - это просто число, которое можно рассматривать как точку на оси.  

• Скалярное произведение векторов дает число, действительное или комплексное, в зависимости от компонент векторов.  

• Рассматриваются пары чисел, лежащих по одну сторону от начала координат.  

• Произведение таких чисел всегда больше нуля.  

• Если числа лежат по разные стороны от начала координат, произведение будет меньше нуля.  

• Вектора, лежащие на одной оси, называются коллинеарными.  

• В одномерном пространстве вектора могут быть только коллинеарными.  

• В многомерном пространстве вектора могут не быть коллинеарными.  

• Угол между векторами может принимать значения от 0 до 180 градусов.  

• При нулевом угле вектора коллинеарны и сонаправлены.  

• При 180 градусах вектора коллинеарны и противонаправлены.  

• Произведение чисел на числовой оси эквивалентно произведению абсолютных величин векторов.  

• Знак произведения зависит от того, находятся ли числа по одну сторону от нуля.  

• В предельных случаях угол альфа равен нулю или 180 градусам, произведение равно ±1.  

• Функция от угла альфа должна быть такой, чтобы при нулевом угле она равнялась единице, а при 180 градусах - минус единице.  

• При угле 90 градусов функция должна равняться нулю.  

• Косинус угла удовлетворяет этим критериям, что делает его подходящей функцией для скалярного произведения векторов.  

• Скалярное произведение векторов определяется как косинус угла между ними, умноженный на произведение их абсолютных величин.  

• Это определение важно для линейной алгебры и численных алгоритмов, включая искусственный интеллект.  

• Рассматриваются векторы с компонентами a и b.  

• Вычисление абсолютных величин не вызывает проблем, но косинус угла между векторами может быть сложным.  

• Для вычисления косинуса угла используется теорема косинусов.  

• Рассматриваются точки c, a и b, образующие треугольник.  

• Разность векторов a и b дает вектор a.  

• Длина вектора a может быть найдена по теореме косинусов.  

• Скалярное произведение векторов выражается через их компоненты.  

• Сумма квадратов компонент векторов равна квадрату длины вектора.  

• Формула справедлива только для ортогональных систем координат.  

• Косинус угла между векторами равен их скалярному произведению, деленному на длины векторов.  

• Скалярное произведение коммутативно: a * b = b * a.  

• Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.  

• Если скалярное произведение равно нулю, а модули векторов не равны нулю, то векторы ортогональны.  

• Если скалярное произведение больше нуля, векторы имеют одинаковое направление или угол между ними меньше 90 градусов.  

• Если скалярное произведение отрицательно, угол между векторами больше 90 градусов.  

• В следующем уроке будет рассмотрено применение скалярного произведения в линейной алгебре.  

• Подписывайтесь, лайкайте и донатите для продолжения.