Дифференциальные уравнения 7. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость

• Устойчивость относится к решению дифференциальных уравнений.  

• Существует несколько типов устойчивости, включая устойчивость по Ляпунову.  

• В курсе будут рассмотрены два типа устойчивости: устойчивость поля и асимптотическая устойчивость.  

• Устойчивость по Ляпунову связана с системой уравнений и начальными условиями.  

• Решение системы устойчиво, если для любого эпсилон существует дельта, такое что решение отличается от невозмущенного не более чем на дельта.  

• Это определение напоминает непрерывность, но на неограниченном интервале времени.  

• Пример с трубчатой окрестностью показывает, что решение должно находиться в определенной области.  

• В случае размерности больше двух, решение может завиваться, что усложняет численные методы.  

• Устойчивость по Ляпунову отличается от непрерывной зависимости решения от начальных условий.  

• Пример с экспонентой показывает, что устойчивость по Ляпунову не всегда выполняется на конечном интервале.  

• Устойчивость по Ляпунову требует выполнения двух условий: устойчивость и стремление к нулю при стремлении времени к бесконечности.  

• Эти условия не всегда дублируют друг друга, как показано на примере с нулевым решением.  

• Исследование устойчивости сводится к изучению устойчивости нулевого решения.  

• Любое решение можно перевести в нулевое решение с помощью замены переменных.  

• В курсе будут рассматриваться автономные системы и устойчивость положений равновесия.  

• Система может стать неавтономной при определенных условиях.  

• Положение равновесия x0 считается константой.  

• Рассматривается автономная система.  

• Вектор-функция V класса не меньше 1 в области D.  

• Исследуется устойчивость положения равновесия x0.  

• Рассматриваются линейные системы с постоянными коэффициентами.  

• Устойчивость сохраняется при заменах переменных.  

• Линейные системы можно привести к нормальной форме.  

• Матрица замены влияет на устойчивость.  

• Матрица приводится к нормальной форме.  

• Собственные значения влияют на устойчивость.  

• Общее решение составляется из блоков, соответствующих собственным значениям.  

• Если хотя бы одно собственное значение положительно, нулевое решение неустойчиво.  

• Решение будет экспоненциально расти.  

• Пара комплексных положительных значений также делает решение неустойчивым.  

• Если все собственные значения отрицательны, нулевое решение устойчиво.  

• Решение стремится к нулю в любой трубке.  

• Это утверждение справедливо для вещественных и комплексных значений.  

• Если все блоки матрицы Жданова имеют размер 1, нулевое решение устойчиво.  

• Если есть блоки порядка выше единицы, устойчивость отсутствует.  

• Пример с блоком порядка 2 показывает, что устойчивость невозможна.  

• Решение системы может неограниченно расти, что делает его неустойчивым.  

• Линейный рост не ограничен, что делает систему неустойчивой.  

• Исследование устойчивости важно для нелинейных систем.  

• Грубые системы сохраняют свои свойства при малых возмущениях.  

• Негрубые системы могут изменять свои свойства при малых возмущениях.  

• Алгоритм исследования устойчивости включает линеаризацию системы.  

• Линеаризация системы позволяет исследовать устойчивость.  

• Отбрасывание нелинейных членов не влияет на качественное поведение системы.  

• Устойчивость определяется отсутствием нулей в спектре матрицы.  

• Исследование устойчивости грубых систем встречается в экзаменационных задачах.  

• Линеаризация и исследование устойчивости по первому приближению важны.  

• Функция Ляпунова помогает исследовать устойчивость.  

• Функция Ляпунова определяется в окрестности нулевого положения.  

• Положительная определенность функции Ляпунова важна для устойчивости.  

• Функция Ляпунова связывает производную векторного поля.  

• Если система имеет функцию Ляпунова, то нулевое решение устойчиво.  

• Положительно определенная функция Ляпунова усиливает условие устойчивости.  

• Пример функции Ляпунова показывает, как она может быть определена.  

• Доказательство теоремы включает построение сферы и рассмотрение минимума функции Ляпунова.  

• Минимум функции Ляпунова достигается на сфере, что подтверждает устойчивость.  

• Функция Ляпунова F строго больше нуля, кроме нуля.  

• Дельта выбирается так, чтобы максимальное значение F на шарике было меньше минимума на сфере.  

• Если начальное значение X0 лежит внутри шарика, то решение не пересекает сферу.  

• Функция Ляпунова F от одной переменной T не может возрастать.  

• Траектория не может попасть на сферу, так как это противоречит условию.  

• Доказано, что траектория всегда лежит внутри сферы.  

• Если функция Ляпунова удовлетворяет усиленному условию 3 штрих, то она устойчива.  

• Доказательство противного: если траектория не стремится к началу координат, то она не симметрически устойчива.  

• Рассматривается кольцо, содержащее внутренность сферы и открытое множество.  

• Траектория не может пересекать кольцо, так как это приведет к противоречию.  

• Функция Ляпунова в кольце строго положительна, что противоречит отрицанию симметрической устойчивости.  

• Показано, что траектория стремится к нулю, что противоречит предположению о симметрической неустойчивости.