№568. Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:

• Изображаем прямоугольник и находим его середины.  

• Соединяем середины сторон, чтобы получить четырехугольник.  

• Доказываем, что этот четырехугольник является ромбом.  

• Проводим диагональ AC и рассматриваем треугольник ABC.  

• MN - средняя линия треугольника ABC, следовательно, MN = 1/2 AC и MN параллельно AC.  

• Аналогично, PK - средняя линия треугольника ACD, PK = 1/2 AC и PK параллельно AC.  

• MN и PK равны и параллельны, что делает четырехугольник параллелограммом.  

• Рассматриваем треугольник BCD и доказываем, что NK - средняя линия, NK = 1/2 BD.  

• Аналогично, MP - средняя линия треугольника ABD, MP = 1/2 BD.  

• Диагонали AC и BD равны, что делает все правые части равными.  

• Следовательно, все стороны четырехугольника равны, что делает его ромбом.  

• Изображаем равнобедренную трапецию ABCD и находим середины сторон.  

• Соединяем середины и доказываем, что полученный четырехугольник является ромбом.  

• Проводим диагональ BD и доказываем, что NK - средняя линия треугольника BCD, NK = 1/2 BD и NK параллельно BD.  

• Аналогично, MP - средняя линия треугольника ABD, MP = 1/2 BD и MP параллельно BD.  

• Доказываем, что MNKP - параллелограмм, и все стороны равны, что делает его ромбом.