В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что углы BB1A1 и BAA1 равны.

• Задача из сборника типовых вариантов экзаменационных заданий автора Ященко.  

• В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1.  

• Доказать равенство углов BBB1A1 и BAA1.  

• Треугольники BAO и OBB1A1 имеют общий угол при вершине O.  

• Эти углы равны, так как они вертикальные.  

• Для доказательства равенства углов BAA1 и BBB1A1 нужно доказать подобие треугольников BAO и OBB1A1.  

• Треугольники BOA1 и AOB1 имеют общую вершину O и вертикальные углы.  

• Высоты BB1 и AA1 делают углы BAA1 и OBB1A1 прямыми и равными.  

• Эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников.  

• Записываем отношения пропорциональных сторон.  

• Углы при вершине O равны, поэтому стороны BAA1 и AOB1 пропорциональны.  

• Углы, полученные от пересечения высот со сторонами, также пропорциональны.  

• Рассматриваем отношения сторон, которые не входят в зеленые треугольники.  

• Получаем пропорциональность сторон, что доказывает подобие треугольников.  

• Углы между пропорциональными сторонами равны, что подтверждает подобие треугольников.  

• Треугольники BOA и BBB1A1 подобны.  

• Все углы подобных треугольников равны.  

• Угол BAA1 равен углу BBB1A1, что завершает доказательство.