Распределение Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна || Лекция №7 || Статистическая термодинамика

• Лекция посвящена элементам квантовой статистики, которые не могут быть описаны с помощью распределения Больцмана.  

• В квантовой механике частицы разделяются на два типа: бозоны и фермионы.  

• Бозоны могут находиться в одном состоянии, фермионы - нет.  

• Графически изображается зависимость количества состояний от энергии.  

• Функция аппроксимируется набором прямоугольников, что позволяет перейти от непрерывного распределения к дискретному.  

• Для фермионов заселенность не может быть больше единицы, для бозонов - от нуля до бесконечности.  

• Задача состоит в нахождении зависимости заселенности от энергии и количества частиц.  

• Используется принцип максимизации энтропии и два ограничивающих условия: фиксированное количество частиц и постоянная энергия системы.  

• Энтропия системы рассчитывается как сумма энтропий отдельных столбиков.  

• В видео обсуждается подход к разделению системы на столбики, где каждый столбик имеет определенную энергию.  

• Важно, чтобы количество состояний внутри столбика было достаточно большим, чтобы применять законы больших чисел.  

• Для фермионов и бозонов будут разные выражения для статистического веса, так как фермионы могут занимать только одну ячейку, а бозоны - любое количество ячеек.  

• Для фермионов формула статистического веса будет: ж и т делить на е в степени ж и делить на н и делить на е в степени н и т и т минус н и делить тоже на е в степени ж и т минус.  

• Для бозонов формула статистического веса будет: ж и т плюс н и т минус 1 факториал.  

• Используя формулу Стирлинга, можно преобразовать выражение для статистического веса и перейти к энтропии.  

• Для фермионов энтропия будет: ж и т логарифм и т минус и логарифм и т.  

• Для бозонов энтропия будет: ж и т плюс н и т минус 1 факториал делить на ж и т минус 1 факториал.  

• Автор объясняет, что для нахождения зависимости энергии от заселенности, необходимо вставить понятие заселенности в формулу.  

• Он исправляет ошибку в формуле, заменяя "н" на "ж" и "т" на "ф и т".  

• Автор сокращает выражение, подчеркивая одинаковые множители и логарифмы.  

• В результате получается симметричное выражение, включающее ф и т, а также единицу минус ф и т.  

• Автор берет производную энтропии по заселенности, используя метод неопределенных множителей.  

• В итоге получается формула, которая включает логарифм единицы минус ф и т, деленный на ф и т.  

• Используя метод множителей Лагранжа, автор находит условие, при котором энтропия системы максимальна.  

• Полученное условие содержит производные от заселенности по энергии и температуре.  

• Автор объясняет физический смысл коэффициентов альфа и бета, которые связаны с энергией Гельмгольца и температурой соответственно.  

• В случае однокомпонентной системы эти коэффициенты совпадают.  

• Автор строит график функции заселенности в зависимости от энергии и температуры.  

• В области низких энергий функция стремится к единице, а в области высоких энергий - к нулю.  

• В предельном случае высоких энергий распределение ферми-Дирака переходит в распределение Больцмана.  

• Распределение Ферми-Дирака используется для описания состояния электронов в металлах и полупроводниках.  

• Температура влияет на распределение, делая его более или менее резким.  

• Вторая часть распределения Базона выводится из статистического веса и энтропии.  

• В результате получается симметричная и легко запоминающаяся формула с логарифмами.  

• В видео обсуждается вывод формулы распределения Бозе-Эйнштейна, которая описывает заселенность энергии для бозонов.  

• Формула выводится с использованием производной энтропии по энергии и метода неопределенных множителей.  

• Распределение Бозе-Эйнштейна наиболее часто применяется к фотонам и играет важную роль в развитии физики.  

• В случае фотонов, химический потенциал равен нулю, что означает, что фотоны могут размножаться и обмениваться энергией между собой.  

• Для равновесного фотонного газа химический потенциал равен нулю, но это не означает, что химический потенциал равен нулю для любого излучения.  

• В лекции обсуждаются два важных распределения: Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна.  

• Первое используется в области химии твердого тела и физики твердого тела, второе - в области лазерного излучения и квантовых эффектов при низких температурах.  

• Лекция завершается выводом этих распределений и упоминанием их возможных применений.  

• Распределения Бозе-Эйнштейна связаны с необычными квантовыми свойствами, такими как сверхтекучесть жидкого гелия.  

• Лекция заканчивается призывом к слушателям изучать эти темы самостоятельно, если они заинтересуются.