Магнитный момент и индукция соленоида | Лекция 21 | Электричество и магнетизм | А. В. Смирнов

• Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю.  

• Магнитные силовые линии либо замкнуты на себя, либо уходят в бесконечность.  

• Нет объектов, на которых магнитные линии начинаются или заканчиваются.  

• Законы природы могут запрещать или регулировать что-то.  

• Доказательство теоремы о циркуляции магнитной индукции в вакууме.  

• Использование векторного потенциала для выражения магнитной индукции.  

• Ротор векторного потенциала связан с магнитной индукцией.  

• Ротор ротора векторного потенциала можно представить как векторное произведение.  

• Использование мнемонических правил для упрощения вычислений.  

• Скалярное произведение можно ставить с вектором в любом порядке.  

• В формулах с набла-оператором производные применяются к последнему элементу.  

• Пример: скалярное произведение набла на вектор.  

• Скалярное произведение набла на вектор равно дивергенции.  

• Дивергенция вектора равна нулю для стационарных токов.  

• Градиент дивергенции также равен нулю.  

• Лапласиан равен второй производной.  

• Для векторной функции лапласиан применяется к каждой компоненте вектора.  

• Пример: лапласиан а икс умножить на иси, лапласиан а игрек умножить на ножи.  

• Потенциал можно считать как сумму потенциалов элементарных зарядов.  

• Уравнение Пуассона связывает лапласиан потенциала с плотностью заряда.  

• Аналогия с векторным потенциалом: лапласиан вектора а аналогичен плотности тока.  

• Ротор магнитной индукции равен минус лапласиан плотности тока.  

• Это соотношение называется дифференциальной формой теоремы о циркуляции.  

• Для перехода к интегральной форме используется формула Стокса.  

• Формула Стокса связывает интеграл по контуру с потоком через поверхность.  

• Теорема о циркуляции утверждает, что интеграл по контуру равен потоку через поверхность, ограниченной этим контуром.  

• Теорема о циркуляции применима к любому векторному полю с существующим ротором.  

• Для поля магнитной индукции теорема гласит, что интеграл по замкнутому контуру равен потоку вектора плотности тока через поверхность, ограниченную этим контуром.  

• Эта формула позволяет рассчитывать распределение токов в различных системах.  

• Если токи текут по проводам, плотность тока отлична от нуля только в сечениях проводов.  

• Интегрирование по сечениям приводит к вычислению силы тока.  

• Направление тока определяется направлением вектора плотности тока.  

• Интеграл по контуру не зависит от выбора поверхности, если она ограничена этим контуром.  

• Полная циркуляция вектора магнитной индукции по контуру равна алгебраической сумме токов, пересекающих поверхность.  

• Это свойство используется в токовых щипцах для измерения токов в кабелях.  

• Теорема циркуляции помогает рассчитывать магнитную индукцию в симметричных случаях.  

• Пример: магнитное поле внутри прямого провода с постоянной плотностью тока.  

• Симметрия позволяет использовать теорему для вычисления магнитной индукции без сложных интегралов.  

• Контур можно выбрать в виде окружности для вычисления циркуляции.  

• Теорема о циркуляции применяется дважды: для контура снаружи и внутри провода.  

• Важно правильно выбрать направление обхода контура и направление вектора магнитной индукции.  

• Длина окружности равна 2πr.  

• Внутренний контур равен 2πr².  

• Полный ток равен плотности тока, умноженной на площадь сечения провода.  

• Магнитная индукция зависит от радиуса провода и плотности тока.  

• Магнитная индукция пропорциональна плотности тока и радиусу провода.  

• Внутри провода индукция линейно возрастает с радиусом.  

• Снаружи провода индукция пропорциональна 1/r.  

• Теорема о циркуляции позволяет найти магнитное поле без разбиения на мелкие провода.  

• Поле внутри длинного соленоида аналогично полю идеального соленоида.  

• Реальный соленоид имеет наклонные витки, что искажает поле, но не сильно.  

• Рассматриваются два симметричных элемента тока в кольцах.  

• Поле создается суммой вкладов от каждого элемента.  

• Векторное произведение радиус-векторов элементов тока перпендикулярно оси соленоида.  

• Поле соленоида убывает обратно пропорционально кубу расстояния.  

• Вклады элементов соленоида компенсируют друг друга, но не полностью.  

• Поле одного витка соленоида убывает быстрее, чем поле по оси.  

• Поле соленоида ослабляется быстрее, чем растет эффективная часть соленоида.  

• Магнитная индукция стремится к нулю на бесконечности.  

• Поле соленоида параллельно оси, если соленоид длинный.  

• Магнитные силовые линии параллельны оси соленоида.  

• Контур, охватывающий соленоид, дает вклад в циркуляцию поля.  

• Поле внутри соленоида однородно, если соленоид длинный.  

• Соленоиды создают однородное поле внутри и локализованное поле снаружи.  

• В установках используются соленоиды для создания магнитных полей.  

• Для сильных полей используются катушки с ограниченным размером.  

• Для изучения магнетизма вещества необходимо понять, как возникает магнетизм.  

• Ампер предположил, что магнитные поля создаются токами, включая молекулярные токи.  

• Магнетизм вещества объясняется молекулярными токами, даже если нет видимого электрического тока.  

• Атом рассматривается как неделимая система, но позже выяснилось, что внутри атома есть движение заряженных частиц.  

• Внутри атома есть движение заряженных частиц, создающих магнитное поле.  

• Атом может вести себя как элементарный магнитик, даже один электрон или ядро.  

• Понятие магнитного момента применяется к витку тока и может быть перенесено на отдельный атом.  

• Магнитный момент витка тока определяется как вектор, равный произведению силы тока на площадь, охваченную витком.  

• Магнитный момент играет роль, аналогичную электрическому дипольному моменту в электростатике.  

• Полный магнитный момент равен интегралу по всем площадкам, охваченным контуром.  

• Магнитный момент зависит только от контура, а не от вида поверхности, натянутой на контур.  

• Это позволяет рассматривать различные конфигурации контуров и поверхностей.  

• Момент силы, действующий на виток током в магнитном поле, не равен нулю, что объясняет вращение электромоторов.  

• Момент силы Ампера действует на виток током в однородном магнитном поле.  

• Виток тока в магнитном поле создает конструкцию, стремящуюся повернуться.  

• В следующем разделе будет рассмотрено, как это происходит в однородном магнитном поле.  

• Рассматриваются две силы, действующие на контур.  

• Эти силы создают пару сил, стремящуюся повернуть контур.  

• Силы направлены противоположно и равны по величине.  

• Момент пары сил равен произведению одной из сил на расстояние между ними.  

• Момент перпендикулярен плоскости, образованной силами.  

• Плечо пары сил определяется расстоянием между линиями действия сил.  

• Момент пары сил направлен вертикально вверх.  

• Векторное произведение силы тока на вектор площадки определяет направление момента.  

• Полный момент силы равен интегралу от всех элементарных моментов.  

• Если магнитное поле перпендикулярно витку, силы действуют навстречу друг другу.  

• Силы стремятся деформировать контур, но не вращать его.  

• Важно, чтобы магнитное поле было однородным во всех точках витка.  

• Неплоский виток можно заменить суммой плоских витков.  

• Полный момент сил равен сумме моментов элементарных витков.  

• Важно, чтобы магнитное поле было постоянным для всех точек витка.