Основы вероятностей и теория меры 2. Математические модели теории вероятностей

• Переход от общих рассуждений к конкретике.  

• Обзор математических моделей случайного эксперимента.  

• Фокус на задачах, где все понятно и очевидно.  

• Описание дискретных моделей.  

• События рассматриваются как подмножества множества Ω.  

• Вопрос о задании вероятности.  

• Вероятность каждого элементарного исхода одинакова.  

• Ω - конечный набор исходов.  

• Вероятность объединения событий равна сумме вероятностей.  

• Вероятность Ω равна единице.  

• Вероятность каждого элементарного исхода равна 1/n.  

• Вероятность события равна сумме вероятностей элементарных исходов.  

• В классических моделях вероятность события равна частному мощности события и мощности пространства элементарных исходов.  

• Это правило часто используется в политических моделях.  

• Пример с незнакомыми людьми, сидящими за круглым столом.  

• Все рассадки равновероятны, нужно найти вероятность, что два конкретных человека окажутся рядом.  

• Начинаем с построения математической модели эксперимента.  

• Элементарный исход - перестановка, где каждый человек занимает свое место.  

• Мощность множества всех перестановок равна n! минус 1.  

• Модель классическая, так как все рассадки равновероятны.  

• Мощность события равна n умножить на 2, так как первый человек может сесть куда угодно, а второй - справа или слева от него.  

• Вероятность события равна 2/n!.  

• Вторая модель: интересуют только первые двое, остальные рассаживаются как угодно.  

• Мощность события равна n умножить на 2, вероятность та же.  

• Третья модель: расположение второго относительно первого, мощность события равна n минус 1.  

• Задача: из n изделий m бракованных, нужно найти вероятность, что будет ровно k бракованных.  

• Элементарный исход - упорядоченный набор чисел, где каждое число - номер изделия.  

• Мощность множества всех упорядоченных наборов равна n!k.  

• Фиксируем позиции для бракованных изделий, затем выбираем изделия для каждой позиции.  

• Перемножаем количество вариантов для каждой позиции, получаем выражение для вероятности.  

• Вероятность равна m^k n-m^(n-k) / n!  

• Рассматривается модель, где ответы могут быть только "да" или "нет".  

• Предлагается использовать последовательности из нулей и единиц вместо классических моделей.  

• Мощность множества состояний равна 2 в степени n.  

• Вероятность задается поточечно для каждого элементарного исхода.  

• Вероятность бракованного изделия равна 1 минус вероятность не бракованного.  

• Вероятность конкретной последовательности бракованных и не бракованных изделий вычисляется как произведение вероятностей.  

• Мощность множества элементарных исходов равна n! / 2^n.  

• Вероятность события вычисляется как сумма вероятностей элементарных исходов.  

• Проверяется выполнение свойства аддитивности вероятности.  

• Проверяется, что сумма вероятностей всех элементарных исходов равна 1.  

• Слагаемые с одинаковым количеством единиц объединяются в группы.  

• Вероятность события, что первый успех, вычисляется как сумма вероятностей всех возможных последовательностей.  

• Модель проверяется на соответствие реальности.  

• Вероятность события, что первый успех, должна быть равна p.  

• Модель подтверждает свою адекватность и соответствие реальности.  

• Тихон и его друг играют в игру с монеткой, пока Тихон не выиграет.  

• Цель - построить математическую модель случайного эксперимента.  

• Проблема: неясно, когда закончится игра, и вероятность выигрыша друга Тихона всегда нулевая.  

• Последовательность из нулей и единиц должна быть бесконечной.  

• Это не классическая модель, и возникают проблемы с определением вероятности.  

• Мощность множества последовательностей из нулей и единиц равна континууму.  

• Ранее модели строились с конечными множествами, где вероятность задавалась поточечно.  

• Для бесконечной последовательности это становится сложной задачей.  

• Рассматривается возможность построения модели для конкретного эксперимента Тихона.  

• Переход к счетной модели, где омега-маленький - момент выигрыша Тихона.  

• Мощность омега-большого - множество всех подмножеств омега-маленького.  

• Вероятность выигрыша Тихона на каждом шаге определяется как сумма вероятностей всех предыдущих шагов.  

• Вероятность любого события считается как сумма вероятностей всех омега-маленьких.  

• Сумма по всем омега-маленьким должна быть равна единице.  

• Модель оказывается нормальной и непротиворечивой, но вызывает чувство неудовлетворения.  

• Модель не решает задачу полностью, оставляя чувство неудовлетворенности.  

• Рассматривается вероятность события, что Тихон выиграет на четном шаге.  

• Вероятность должна обладать свойством аддитивности, но это не всегда верно для счетного числа событий.  

• Рассматривается пример с рациональными точками на отрезке от 0 до 1.  

• Событиями являются интервалы вида [a, b] и точка 1.  

• Вероятности событий задаются как длина соответствующего отрезка.  

• Мощность множества событий счетна.  

• Каждая рациональная точка является событием.  

• Вероятность события равна нулю, если концы отрезка совпадают.  

• Вероятность объединения событий не равна сумме вероятностей этих событий.  

• Пример показывает, что сумма вероятностей счетного количества событий не всегда равна вероятности всего множества.  

• Вводится понятие счетной аддитивности для решения проблемы.  

• Вероятность события равна сумме вероятностей составляющих его элементарных исходов.  

• Рассматривается модель геометрической вероятности.  

• Точка бросается на подмножество отрезка от 0 до 1.  

• Вероятность попадания точки в подмножество равна доле этого подмножества в пространстве элементарных исходов.  

• Возникают вопросы о том, как задавать вероятность для множеств с неопределенной мерой.  

• Множество измеримых подмножеств должно быть замкнуто относительно операций теоретико-множественного.  

• Возникают вопросы о том, кто такой Ф и какими свойствами он должен обладать.  

• В случае недискретных моделей, таких как геометрическая вероятность, вероятность задается на каждом элементе Ф.  

• Для решения этих вопросов требуется математический аппарат.  

• Теория вероятностей интересует нас с точки зрения событий, а не элементарных исходов.  

• Важно определить, что такое событие и почему вероятность задается на пространстве событий, а не на пространстве элементарных исходов.  

• В случае бесконечного пространства элементарных исходов, вероятность каждого исхода будет близка к нулю.  

• Вторая часть курса будет посвящена теории вероятностей и математическим моделям.  

• Рассматриваются дискретные и геометрические модели, так как другие модели пока не изучены.  

• Введение новых объектов и их свойств в рамках аксиом.  

• Условная вероятность возникает, когда часть элементарных исходов не может быть реализована.  

• Пример с покером: вероятности раскладов меняются после раздачи карт.  

• Вероятность события А при условии события Б определяется как пересечение А и Б, деленное на вероятность события Б.  

• Пример с Бернулли: вероятность k успехов при условии первого успеха.  

• Вероятность пересечения событий: первый успех и k успехов.  

• Вероятность первого успеха и количество способов расставить k-1 успехов.  

• Вероятность должна наследоваться при сужении пространства элементарных исходов.  

• Формула полной вероятности используется для расчета вероятности событий при условии других событий.  

• Определение разбиения множества Ω.  

• Разбиение Ω - это конечный или бесконечный набор непересекающихся событий.  

• Вероятность события A можно вычислить как сумму вероятностей всех событий из разбиения.  

• Пример с вероятностью поездки в Таиланд в зависимости от успеваемости.  

• Вероятность поездки зависит от среднего балла и поддержки родителей.  

• Пример показывает, как можно оценить вероятность события на основе известных условий.  

• Формула Байеса позволяет вычислить вероятность пересечения событий.  

• Вероятность пересечения можно расписать как произведение условных вероятностей.  

• Формула применима, когда вероятность события B больше нуля.  

• Пример с зарплатой и температурой на улице.  

• Вероятность точного значения температуры равна нулю.  

• Для корректного расчета вероятности нужно использовать условное математическое ожидание.  

• Условное математическое ожидание станет важным понятием в курсе математической статистики.  

• В курсе теории вероятностей и математической статистики будут рассмотрены более сложные методы расчета вероятностей.