[s1 | 2022] Математический анализ, К. П. Кохась, лекции 11-12

• Видео начинается с определения замкнутого множества и обсуждения его свойств.  

• Автор объясняет, что замкнутое множество содержит все свои предельные точки и не содержит своих предельных точек.  

• Автор доказывает теорему о свойствах замкнутых множеств, которая утверждает, что если у вас есть произвольное семейство замкнутых множеств, то их пересечение также замкнуто.  

• Доказательство основано на использовании законов де Моргана и на том, что дополнительное множество открытого множества также открыто.  

• Автор вводит понятие замыкания множества, которое получается путем добавления всех предельных точек к исходному множеству.  

• Он обсуждает контекстную зависимость слова "предельная точка" и необходимость аккуратного формулирования определений.  

• Автор формулирует несколько свойств замыкания множества, включая то, что замыкание можно описать как множество точек, для которых существует последовательность, исходящая из них.  

• Предельная точка - это точка, к которой можно подойти сколь угодно близко.  

• Замкнутое множество совпадает со своим замыканием.  

• Граничная точка - это точка, в окрестности которой имеются как точки множества, так и точки, не принадлежащие ему.  

• Граничные точки могут быть как предельными, так и не предельными.  

• Вводится понятие ограниченной точки и границы множества.  

• Обсуждается связь между границей множества и его предельными точками.  

• Вводится понятие предела отображения и рассматриваются примеры его применения.  

• Обсуждаются различные виды пределов, такие как предел функции, предел последовательности и предел интеграла.  

• Рассматривается произвольное отображение, заданное на множестве вещественных чисел и принимающее вещественные значения.  

• Определяется точка а, которая является предельной точкой множества и может лежать или не лежать в этом множестве.  

• Предлагается три разных определения предела, чтобы проверить, что они эквивалентны.  

• Первое определение основано на последовательности и использует расстояние между точками.  

• Второе определение использует язык окрестностей и использует геометрические соображения.  

• Третье определение использует язык окрестностей и также использует геометрические соображения.  

• Вводится определение предела функции в точке, основанное на понятии окрестности.  

• Рассматриваются три подхода к определению предела: по Гейне, по Коши и по Больцано.  

• Первое и второе определения Гейне и Коши эквивалентны.  

• Третье определение Гейне корректно, но может быть неприменимо к точке, лежащей в множестве.  

• Если функция совпадает с функцией на окрестности точки, то существование предела имеет место одновременно.  

• В видео обсуждается определение предела последовательности, которое позволяет рассматривать окрестности бесконечности.  

• Автор отмечает, что определение можно обобщить на случай, когда окрестность бесконечности становится более тесной.  

• Автор обобщает определение на случай окрестности бесконечности, что позволяет использовать его для определения предела в случае, когда икс стремится к бесконечности.  

• Автор называет определение "бомбой", так как оно позволяет определить предел последовательности в различных контекстах.  

• Автор делает пять замечаний о различных определениях предела последовательности, включая обобщение на случай окрестности бесконечности.  

• Определение предела на языке окрестностей означает, что для любого множества, содержащего точку a, существует окрестность точки a, которая содержится в этом множестве.  

• Это определение эквивалентно исходному определению на языке окрестностей, и его можно доказать.  

• Топологическое определение предела - это определение, основанное на топологических свойствах пространства, а не на метрических свойствах.  

• Оно проще и более абстрактно, чем определение на языке окрестностей, но эквивалентно ему.  

• В примере, когда мы берем любое открытое множество, содержащее точку a, и находим окрестность точки a, содержащуюся в этом множестве, мы используем топологическое определение предела.  

• Мы можем использовать только окрестность, а не все множество, так как нам нужно только доказать, что эф лежит в иксе.  

• В видео обсуждается топологическое определение предела последовательности и его связь с окрестностями.  

• Рассматривается пример с функцией, которая имеет предел, но не имеет производной.  

• Обсуждается возможность обобщения топологического определения на случай, когда точка является бесконечностью.  

• Рассматривается метрика, которая хорошо приспособлена для описания ситуации с бесконечностью.  

• В видео рассматривается функция, которая имеет предел, но не имеет производной.  

• Обсуждается метрика, которая позволяет определить расстояние между точками на графике функции.  

• Автор обсуждает возможность использования модифицированной метрики для определения предельного перехода к бесконечности.  

• В заключение, автор предлагает зафиксировать основные идеи и определения, связанные с метрикой и предельным переходом к бесконечности.  

• В видео обсуждается понятие окрестности точки и окрестность множества.  

• Окрестность точки - это интервал, содержащий эту точку, а окрестность множества - это множество, содержащее каждую точку из этого множества.  

• Метризуемая топология - это топология, которая может быть порождена метрикой.  

• Если метрика порождает топологию, то понятие открытого множества совпадает с понятием открытого множества, которое было изначально определено.  

• Предельные переходы при стремящемся к бесконечности или предельные переходы в которых бесконечности могут быть сведены к стандартным металлическим предельным переходам.  

• Свойства открытых множеств, такие как единственность предела, ограниченность, исходящая последовательность, локальная ограниченность функции, имеющей предел, выполняются в метрической ситуации.  

• Видео переходит к обсуждению зеленых лягушек и их математических свойств.  

• Видео называется "Глава 2, параграф 1 или 4 соты. Это библейская. Называется пакупность и".  

• Доказывается, что множество д открыто в выкройке.  

• Для этого используется определение открытого множества и показывается, что каждая точка внутренней области д имеет окрестность, содержащуюся в д.  

• Доказывается, что если множество икс замкнуто в игрек, то множество игрек минус д открыто.  

• Используется свойство дополнения и показывается, что множество игрек минус д равно пересечению множества д с игриком.  

• Обсуждается допустимость использования картинок в математике для объяснения и понимания сложных понятий.  

• Подчеркивается, что после формализации интуитивных представлений можно перейти к строгим определениям.  

• Множество называется компактным, если для любого покрытия множества можно найти конечное подмножество, которое покрывает все множество.  

• Компактность является свойством множества, которое не зависит от контекста и пространства, в котором оно рассматривается.  

• Утверждается, что компактность множества является характеристикой множества и не зависит от контекста.  

• Волшебная теорема утверждает, что компактность множества в пространстве означает, что оно компактно во всех пространствах.  

• Доказывается, что компактность множества в пространстве означает, что оно компактно во всех пространствах.  

• Для доказательства используется свойство компактности и идея о том, что компактность множества в пространстве означает, что его можно покрыть конечным числом множеств из этого пространства.  

• В видео обсуждается понятие компактности и его связь с открытыми множествами.  

• Автор объясняет, что компактность является внутренней характеристикой метрического пространства, а не множества.  

• Автор приводит определение компактности, основанное на покрытии множества открытыми множествами.  

• Он отмечает, что компактность зависит от метрики и структуры пространства, а не только от множества.  

• Автор приводит примеры компактных множеств, таких как отрезок и круг.  

• Он подчеркивает, что компактность может быть определена только в контексте метрического пространства.  

• Автор формулирует теорему о том, что если множество компактно, то оно замкнуто и ограничено.  

• Он предлагает зрителям доказать эту теорему независимо от теории компактности.  

• Обсуждается свойство замкнутости и ограниченности в топологических пространствах.  

• Доказывается, что если компактное пространство является замкнутым, то оно также ограничено.  

• Доказывается, что компактное пространство является открытым, если оно содержит открытое множество.  

• Открытое покрытие множества рассматривается как набор открытых шаров, которые покрывают это множество.  

• Доказывается, что компактное пространство ограничено, используя определение компактности.  

• Задача для зрителей: догадаться, почему это так.