Яков Борисович Зельдович высшая математика для начинающих. Проработка книги. Александр Македонский.

• Если минимум параболы лежит выше оси X, то парабола нигде не пересекает ось X.  

• При a > 0 и c - b² / 4a > 0 квадратное уравнение не имеет вещественных корней.  

• Если минимум лежит ниже оси X и рога параболы поднимаются вверх, парабола пересекает ось X в двух точках, симметричных относительно линии x = -b / 2a.  

• При a > 0 и c - b² / 4a < 0 уравнение имеет два корня x1 и x2.  

• Если c - b² / 4a = 0, парабола касается оси X.  

• В этом случае говорят о двух равных слившихся корнях уравнения.  

• При a < 0 и c - b² / 4a < 0 нет вещественных корней.  

• Уравнение имеет два вещественных корня, если можно извлечь корень из b² - 4ac.  

• Условия существования двух корней: a > 0 и c - b² / 4a < 0 или a < 0 и c - b² / 4a > 0.  

• При a > 0 парабола выпукла вниз, при a < 0 — выпукла вверх.  

• Это свойство не зависит от значений и знаков b и c в уравнении параболы.  

• Возьмём на кривой две точки A(x1, y1) и B(x2, y2) и проведём через них прямую.  

• Если часть кривой между этими точками лежит ниже прямой, то кривая обращена выпуклостью вниз.  

• Если часть кривой лежит выше прямой, то кривая обращена выпуклостью вверх.  

• Выпуклость параболы можно определить наглядно из чертежа или с помощью алгебры.  

• Для определения выпуклости возьмём произвольные точки A и B на параболе и найдём координаты точки M, лежащей на середине отрезка AB.  

• Если отрезки AM и MB равны, то координаты точки M равны средним арифметическим координатам A и B.  

• Координаты точки M: xM = x1 + x2 / 2, yM = y1 + y2 / 2.  

• Подставим x = x1 + x2 / 2 в уравнение параболы и найдём yN.  

• При a > 0 и x1 < x2 yN < yM, что означает, что точка на параболе ниже соответствующей точки на прямой.  

• Следовательно, парабола выпукла вниз.  

• Рассмотрим примеры кривых: кубическая парабола, биквадратичная парабола, гипербола и круг.  

• Кубическая парабола: y = x³ + x.  

• Биквадратичная парабола: y = x² + x.  

• Гипербола: y = x / x.  

• Круг: y = x².  

• На любом участке кубической параболы при увеличении x увеличивается также y.  

• При передвижении слева направо линия поднимается.