Комбинаторика 4: Комбинаторные тождества и полиномиальная формула.

• В третьем ролике по комбинаторике рассмотрены бином Ньютона и первые два свойства биномиальных коэффициентов.  

• Второе свойство лежит в основе построения треугольника Паскаля.  

• Первое свойство показывает симметрию треугольника Паскаля относительно вертикальной оси.  

• Сумма чисел в каждой строчке треугольника Паскаля равна степеням двойки.  

• Это третье свойство биномиальных коэффициентов, доказываемое через формулу бинома Ньютона.  

• Треугольник Паскаля позволяет находить степени числа одиннадцать.  

• Одиннадцать в степени n можно найти через формулу бинома Ньютона.  

• При малых n коэффициенты бинома однозначные числа, что упрощает расчет.  

• При больших n двузначные числа в треугольнике Паскаля переносятся в следующий разряд.  

• При n равном пяти, коэффициенты бинома однозначные числа.  

• Первое двузначное число 10 переносится в следующий разряд, что дает 11.  

• В итоге получаем 11 в пятой степени, равное 1061051.  

• При n равном шести, коэффициенты бинома двузначные числа.  

• Первое двузначное число 15 переносится в следующий разряд, что дает 21.  

• В итоге получаем 11 в шестой степени, равное 1771561.  

• Сумма квадратов биномиальных коэффициентов в строчке треугольника Паскаля равна числу сочетаний из двух n по n.  

• Для доказательства рассматривается множество из двух n объектов и разбивается на непересекающиеся подмножества.  

• Мощность множества равна сумме квадратов биномиальных коэффициентов.  

• Обобщение бинома Ньютона на случай суммы более двух слагаемых.  

• Энную степень суммы р слагаемых можно представить как сумму одночленов.  

• Полиномиальные коэффициенты равны числу перестановок с повторениями из n элементов.  

• Биномиальная формула обобщается до полиномиальной формулы.  

• Биномиальные коэффициенты являются частным случаем полиномиальных коэффициентов при р равном двум.  

• Ссылки на предыдущие ролики по комбинаторике для более глубокого понимания.