Численные методы. Лекция 7: квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля

• В видео обсуждается квадратурная формула, которая имеет алгебраический порядок точности 2n-1.  

• Рассматриваются условия, которые должны быть выполнены для получения такой формулы.  

• Доказывается теорема о порядке точности 2n-1 для квадратурных формул.  

• Указываются необходимые и достаточные условия для получения формулы с таким порядком точности.  

• Рассматривается полином омега, который должен быть ортогонален всем полиномам степени n-1 с весом p на отрезке ab.  

• Доказывается, что такой полином существует и является единственным.  

• Доказывается, что корневой полином омега существует и является ортогональным любому полиному степени n-1.  

• Доказывается, что все корни полинома вещественные, различные и лежат внутри отрезка [a, b].  

• Доказывается, что существует единственный корневой полином омега, удовлетворяющий всем требованиям.  

• Доказывается, что квадратурная формула имеет алгебраический порядок точности 2n-1.  

• Вывод: для любого n можно построить квадратурную формулу наивысшего порядка точности.  

• Утверждение: все коэффициенты квадратурной формулы гауссовского типа положительны.  

• Доказательство: интеграл от полинома в квадрате равен сумме коэффициентов формулы, умноженных на значение полинома в узлах.  

• Построение табличной функции по узлам и построение интерполяционного полинома.  

• Предположение на функцию: достаточно гладкая, из класса C2.  

• Построение остаточного члена квадратурной формулы гауссовского типа.  

• Выражение для остаточного члена полинома Эрмита.  

• Построение полинома омега от икс.  

• Система ортогональных полиномов: полиномы, ортогональные всем полиномам степени на единицу меньше.  

• Полиномы записываются в нестандартном виде: старший коэффициент при степени n, следующий коэффициент при степени икс минус один.  

• Ортогональные полиномы обладают рядом замечательных свойств, включая рекурентное соотношение, позволяющее вычислять полиномы любой степени.  

• Полиномы Чебышева и Якоби являются примерами ортогональных полиномов, которые можно вычислить с помощью рекурентного соотношения.  

• Формула Родриго позволяет вычислять ортогональные полиномы, если известна производящая функция.  

• В зависимости от весовой функции, можно получить полиномы Чебышева, Якоби или Лежандра.  

• Определить отрезок и весовую функцию.  

• Найти корневой полином омега от икс с помощью формулы Родриго, формулы 35 или метода ортогонализации.  

• Определить узлы и коэффициенты квадратурной формулы.  

• Обсуждается метод построения квадратурной формулы на основе полиномов Чебышева.  

• Упоминается, что этот метод не всегда является устойчивым и может быть не очень эффективным в некоторых случаях.  

• Обсуждается использование системы определяющих уравнений для нахождения коэффициентов квадратурной формулы.  

• Приводится пример вычисления коэффициентов для квадратурной формулы с тремя узлами.  

• Обсуждается второй пример с функцией 1/1-x^2 и полиномами Чебышева.  

• Омега - константа, умноженная на Тн икс.  

• Пленом - косинус умножить на Н.  

• Третий этап: найти корни полинома.  

• Четвертый этап: вычислить коэффициенты окаты.  

• Формула Эрмита: интеграл от минус одного до одного, деленный на Н.  

• Формула удобна для повышения точности и простоты вычисления коэффициентов и узлов.  

• Можно использовать формулу Эрмита, когда вес равен единице.  

• Весовая функция нужна для учета разрывов функции.  

• Формула Родриги работает только для степеней меньше минус единицы.  

• В других случаях формула Родриги может быть модифицирована.