Частные производные первого и второго порядка от функций нескольких переменных

• Рассматривается нахождение частных производных функций нескольких переменных.  

• Функция двух переменных имеет аргументы x и y, а значение функции обозначается как z.  

• Функция трех переменных имеет аргументы x, y и z, а значение функции обозначается как y.  

• Число частных производных совпадает с числом аргументов функции.  

• У функции двух переменных будет две частные производные, у функции трех переменных будет три частные производные.  

• У функций с более чем одним аргументом есть только частные производные.  

• Пример функции двух переменных: x^3 * y^5.  

• Функция имеет две частные производные: по x и по y.  

• Обозначение частной производной: z штрих, где z - значение функции, x - переменная, y - константа.  

• Напоминание правил нахождения производных: производная от постоянного числа равна нулю, постоянный множитель выносится за знак производной, производная суммы или разности равна сумме или разности производных, производная произведения равна сумме произведений, производная частного равна y' * x - x' * y, производная сложной функции находится по правилу.  

• Нахождение производной функции x^3 * y^5 при условии, что y - константа.  

• Постоянный множитель y^5 выносится за знак производной.  

• Производная по x: 3x^2 * y^5.  

• Нахождение производной функции x^3 * y^5 при условии, что x - константа.  

• Постоянный множитель x^3 выносится за знак производной.  

• Производная по y: 5y^4 * x^3.  

• Рассматривается функция трех переменных: x, y, z.  

• Находятся частные производные по каждой переменной.  

• Пример: z = x^2y^3 - xz + ysinz + 5y.  

• x считается переменной, y и z - константами.  

• Находятся производные от каждого слагаемого.  

• Результат: 2xy^3 - z.  

• y считается переменной, x и z - константами.  

• Находятся производные от каждого слагаемого.  

• Результат: 3xy^2 + sinz + 5.  

• z считается переменной, x и y - константами.  

• Находятся производные от каждого слагаемого.  

• Результат: -x/2z + ycosz.  

• Рассматривается функция z = x^3cos3y - y/x + sin5x - 2lny + 4.  

• Находятся частные производные по x и y.  

• Пример: dz/dx = 3x^2cos3y - y/x^2 + 5cos5x.  

• Рассматривается функция z = x^2 - 2y/x^2 + 2y - 2arctg3x + 4.  

• Находятся частные производные по x и y.  

• Пример: dz/dy = -3x^2sin3y - 1/2x^2y - 2/y.  

• Находим производную числителя и знаменателя.  

• Используем правила нахождения производной сложной функции.  

• Упрощаем выражение и находим частную производную по x.  

• Находим производную числителя и знаменателя по y.  

• Упрощаем выражение и находим частную производную по y.  

• Находим частные производные функции двух переменных.  

• Используем правила производной произведения.  

• Упрощаем выражение и находим частные производные по x и y.  

• Находим частные производные функции трех переменных.  

• Преобразуем функцию к удобному виду для нахождения производных.  

• Находим частные производные по x, y и z.  

• Находим частные производные первого порядка.  

• Находим производную от частной производной первого порядка.  

• Обозначаем и находим частные производные второго порядка.  

• Вынесение минус пяти и нахождение производной сложной функции.  

• Упрощение выражения и нахождение частной производной второго порядка.  

• Обозначение частной производной как д- квадрат зет д- икс, д- игрек.  

• Нахождение производной по игрек и икс.  

• Упрощение выражений и нахождение частных производных второго порядка.  

• Обозначение производных как д- квадрат зет д- игрек, д- икс.  

• Нахождение смешанных частных производных второго порядка.  

• Упрощение выражений и нахождение производных.  

• Обозначение смешанных производных как д- квадрат зет д- игрек- икс.  

• Нахождение производных от смешанных производных.  

• Упрощение выражений и нахождение частных производных второго порядка.  

• Обозначение производных как д- квадрат зет д- игрек- квадрат.  

• Нахождение частных производных первого порядка.  

• Упрощение выражений и нахождение производных.  

• Обозначение производных как д- квадрат зет д- икс- квадрат и д- игрек- квадрат.  

• Нахождение смешанных частных производных второго порядка.  

• Упрощение выражений и нахождение производных.  

• Обозначение смешанных производных как д- квадрат зет д- игрек- икс и д- игрек- икс.  

• Нахождение всех частных производных второго порядка.  

• Упрощение выражений и нахождение производных.  

• Обозначение всех производных и завершение расчетов.