Лекция 1 (Элементы комбинаторики. Основные понятия теории вероятностей)

• Курс лекций по дисциплине "Высшая математика", раздел "Теория вероятности и математическая статистика".  

• Лектор: Ольга Александровна Бредихина.  

• Литература: Гмурман "Теория вероятности и математическая статистика", Гмурман "Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике", Бойцова "Практикум по математике", Журавлева, Бойцова, Панина, Студеникина "Теория вероятностей".  

• Теория вероятностей изучает закономерности массовых случайных явлений.  

• Предмет теории вероятностей - математические модели случайных явлений.  

• Случайное явление - явление, исход которого невозможно предсказать.  

• Примеры случайных явлений: выпадение герба при подбрасывании монеты, выигрыш по лотерейному билету, результат измерения величины.  

• Осуществление прогноза в области случайных явлений.  

• Влияние на ход этих явлений и контроль случайности.  

• Пример: планирование оттока денежных средств на лечение в городе.  

• Теория вероятностей содержит несколько разделов.  

• Первый раздел - элементы комбинаторики.  

• Комбинаторика изучает количество комбинаций из элементов заданного множества.  

• Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.  

• Перестановки: комбинации из n элементов, отличающиеся только порядком.  

• Формула для расчета перестановок: n!  

• Пример задачи: сколько существует способов размещения пяти человек за круглым столом.  

• Перестановки, размещения и сочетания с повторениями.  

• Формула для расчета перестановок с повторениями: n! / факториалы n1, n2, n3.  

• Пример задачи: сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3, 3, 5, 5, 8.  

• Правила сложения: если объект можно выбрать n1 способами, а другой объект n2 способами, то их можно выбрать n1 + n2 способами.  

• Правила умножения: если объект можно выбрать n1 способами, а другой объект n2 способами, то оба объекта можно выбрать n1 * n2 способами.  

• Пример задачи: сколько способов выбрать три гвоздики, шесть гвоздик одного цвета, четыре красных и три розовых гвоздики.  

• Выбор трех гвоздик из шестнадцати: 560 способов.  

• Выбор шести гвоздик одного цвета: 91 способ.  

• Выбор четырех красных и трех розовых гвоздик: 4410 способов.  

• Перестановка десяти книг: 3628800 способов.  

• Перестановка восьми книг и связки: 241920 способов.  

• Перестановка десяти книг без связки: 3386880 способов.  

• Перестановка букв: 4 способа.  

• Перестановка с использованием цифр: 4 способа.  

• Классификация событий: достоверные, невозможные, случайные.  

• Несовместные и совместные события.  

• Равновозможные события и полная группа событий.  

• Сумма или объединение событий.  

• Произведение или пересечение событий.  

• Разность событий.  

• Нахождение противоположного события.  

• Влечение одного события к другому.  

• Пример с бросанием игральной кости.  

• Объединение, пересечение, разность и противоположное событие.  

• Теория вероятностей изучает закономерности массовых случайных явлений.  

• Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.  

• Правила сложения и умножения в комбинаторике.  

• Классификация событий и операции над ними.