ОКТЧ 1. Основы теории множеств

• Курс состоит из трех блоков: основы комбинаторики и теории чисел, основы теории множеств и логика.  

• Даниил Владимирович Мусатов читает лекции по основам теории множеств.  

• Лекции по комбинаторике и теории чисел начнутся 12 октября.  

• Лекции по логике будут читаться 13 октября.  

• Лекции по дискретному анализу для второкурсников будут читаться два года.  

• Лектор передает эстафету Даниилу Владимировичу.  

• Теория множеств рассматривается как вторая точка зрения на материал.  

• Лекции будут посвящены множествам, парам, кортежам и функциям.  

• Пустое множество отождествляется с нулем, а единица с синглетоном.  

• Любое натуральное число можно рассматривать как множество.  

• Порядочные пары, кортежи и функции также рассматриваются как множества.  

• Теория множеств применима к различным объектам, включая формулы и вычислительные машины.  

• Лекции включают обсуждение бинарных отношений, ковалентности и порядка.  

• Предпорядок отличается от порядка тем, что элементы могут быть безразличны по одной характеристике.  

• Пример: упорядочивание студентов по среднему баллу.  

• Запись множеств может быть неоднозначной, как в примере с факториалом.  

• Существуют различные способы задания множеств, включая фигурные скобки и определяющие соотношения.  

• Определение множества через аксиоматику теории множеств и модель.  

• Множество состоит из элементов и принадлежности.  

• Множество и элементы не могут быть определены отдельно.  

• Пустое множество не удовлетворяет никаким свойствам.  

• Подмножество - это множество, где любой элемент одного множества является элементом другого.  

• Равенство множеств означает, что любой элемент одного множества является элементом другого и наоборот.  

• Пустые множества равны, так как любой элемент пустого множества обладает любым свойством.  

• В теории множеств существуют аксиомы, определяющие пустое множество.  

• Логика и математика имеют разные подходы к определению множеств.  

• Модель теории множеств - это набор объектов, удовлетворяющих аксиомам.  

• Мощность множества - это его сложность.  

• Континуум-гипотеза утверждает, что любое множество либо конечно, либо счетно.  

• Бесконечные объекты не могут быть полностью описаны конечными текстами.  

• Принадлежность означает, что один элемент входит в множество.  

• Подмножество означает, что любой элемент одного множества является элементом другого.  

• Примеры показывают, что принадлежность и подмножество - разные понятия.  

• В теории множеств все элементы и подмножества являются множествами.  

• Числа также могут быть множествами, но не всегда являются элементами или подмножествами.  

• Рассматриваются множества, которые могут быть двух типов: правильные и неправильные.  

• Правильные множества не являются собственными элементами, например, множество натуральных чисел.  

• Неправильные множества могут быть собственными элементами, например, множество всех множеств.  

• Рассматривается множество всех правильных множеств C.  

• Если C правильно, то оно не принадлежит множеству всех правильных множеств, что противоречит определению.  

• Если C неправильно, то оно принадлежит множеству всех правильных множеств, что также противоречит определению.  

• Аксиома регулярности утверждает, что для любого непустого множества существует элемент, который с ним не пересекается.  

• Это позволяет избежать парадокса Рассела, запрещая существование множеств, которые являются собственными элементами.  

• Пример с натуральными числами показывает, как элементы определяются через множества.  

• Следствие: все правильные множества не являются собственными элементами.  

• Аксиома регулярности предотвращает парадоксы, такие как парадокс Рассела.  

• Аксиома регулярности является следствием других аксиом теории множеств.  

• В конце 19 века была разработана аксиоматика Цермело-Френкеля для предотвращения парадоксов.  

• В основаниях математики нет прочного фундамента, и все рассуждения зависят от более сильных теорий.  

• Не существует пары множеств, элементы которых являются элементами друг друга.  

• Доказательство основано на аксиоме регулярности.  

• Обсуждение значков и операций на множествах будет отложено до семинара.  

• В множестве нет порядка, в отличие от упорядоченных пар.  

• Упорядоченная пара имеет первый и второй элементы, которые могут совпадать.  

• Упорядоченные пары должны совпадать, если совпадают их первые и вторые элементы.  

• Декартово произведение множества A и множества B определяется как множество упорядоченных пар.  

• Упорядоченные пары определяются как множества, что требует доказательства.  

• Существует несколько способов определения упорядоченных пар, один из которых - упрощенное определение Куратовского.  

• Упорядоченная пара A B определяется как множество из неупорядоченной пары A B и элемента A.  

• Если два элемента совпадают, то пара схлопывается.  

• Доказательство равенства упорядоченных пар использует следствие два регулярности.  

• Кортеж - это последовательность элементов с фиксированным количеством.  

• Кортеж можно разбить на голову и хвост, где голова - это упорядоченная пара.  

• Проблема с ассоциативностью кортежей решается введением эквивалентности или конфинанции.  

• Обсуждение ассоциативности кортежей будет продолжено на следующей лекции.  

• Введение эквивалентности или конфинанции позволяет корректно соединять кортежи.